1、狄拉克方程
对于一般自旋系统，自旋算符可以表示成
\begin{equation}
S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]
\end{equation}这里$\gamma^\mu$为$\gamma$矩阵，满足如下关系
\begin{equation}
\left\{\gamma^{\mu}, \gamma^{\nu}\right\} \equiv \gamma^{\mu} \gamma^{\nu}+\gamma^{\nu} \gamma^{\mu}=2 g^{\mu \nu} \times \mathbf{1}_{n \times n}
\end{equation}由上面的表达式可以得到一系列的$\gamma$矩阵的性质
- $(\gamma^0)^2=\mathbf{1}_{n\times n}$
- $(\gamma^i)^2=-\mathbf{1}_{n\times n}$
- $\gamma^0\gamma^i=-\gamma^i\gamma^0$
- $\gamma^i\gamma^j=-\gamma^j\gamma^i$
- $(\gamma^0)^\dagger=\gamma^0\quad(\gamma^i)^\dagger=-\gamma^i$
狄拉克方程的拉氏量为
\begin{equation}
\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi
\end{equation}$\psi$场共轭量$\pi=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_0\psi)}=\frac{\partial}{\partial(\partial_0\psi)}(i\psi^*\gamma^0\gamma^\mu\partial_\mu\psi-m\bar{\psi}\psi)=i\psi^*$
很容易得到哈密顿密度为
\begin{equation}
\begin{split}
\mathcal{H}&=\pi\partial_0\psi-\mathcal{L}\\
&=i\psi^*\partial_0\psi-\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi\\
&=i\psi^*\partial_0\psi-i\psi^*\gamma^0\gamma^\mu\partial_\mu\psi+m\bar{\psi}\psi\\
&=-i\psi^*\gamma^0\mathbf{\gamma}\cdot\nabla\psi+m\bar{\psi}\psi
\end{split}
\end{equation}我们定义$\mathbf{\alpha}=\gamma^0\mathbf{\gamma}$，$\beta=\gamma^0$。可以把狄拉克方程的哈密顿量写成
\begin{equation}
H=-i\mathbf{\alpha}\cdot\nabla+\beta m
\end{equation}事实上我们也可以通过拉格朗日方程获得正反粒子狄拉克方程
\begin{equation}
\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi
\end{equation}带入拉格朗日方程$\partial_\mu\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\psi)}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\psi}=0$
对$\bar{\psi}$使用拉格朗日方程得到电子狄拉克方程
\begin{equation}
-i\gamma^\mu\partial_\mu\psi+m\psi=0
\end{equation}对$\psi$使用拉格朗日方程得到正电子狄拉克方程
\begin{equation}
i\partial_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu+m\bar{\psi}=0
\end{equation}可以看出正电子的狄拉克方程与电子狄拉克方程互为厄米共轭关系,对电子狄拉克方程两边取厄米共轭得到
\begin{equation}
(-i\gamma^\mu\partial_\mu\psi+m\psi)^\dagger=0
\end{equation}得到
\begin{equation}
\begin{split}
&i\partial_\mu\psi^\dagger(\gamma^\mu)^\dagger+m\psi\dagger=0\\
&i\partial_0\psi^\dagger\gamma^0\gamma^0-i\partial_i\psi^\dagger\gamma^i\gamma^0+m\psi\gamma^0=0\\
&i\partial_0\psi^\dagger\gamma^0\gamma^0+i\partial_i\psi^\dagger\gamma^0\gamma^i+m\psi\gamma^0=0\\
&i\partial_\mu\bar{\psi}\gamma^\mu+m\bar{\psi}=0
\end{split}
\end{equation}这就证明了正电子方程和电子方程之间的共轭关系
根据$\gamma$矩阵的性质可以推导出$\alpha^i,\beta$之间的代数关系。
(\alpha^i)^2=\beta^2=1
\alpha^i\alpha^j=-\alpha^j\alpha^i
\alpha^i\beta=-\beta\alpha^i
反对易关系表明$\alpha^i,\beta$满足Clifford代数，对于一维和二维系统，他们至少是$2\times 2$的矩阵。我们知道泡利矩阵的关系为
\begin{equation}
\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}
\end{equation}并且有矩阵表示
\begin{equation}
\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\quad\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\quad\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}
\end{equation}对于一维系统而言，很自然的可以令$\alpha_x=\sigma_x,\beta=\sigma_z$
对于二维系统而言，很自然的可以令$\alpha_x=\sigma_x,\alpha_y=\sigma_y,beta=\sigma_z$
对于三维系统我们找不到$2\times 2$的矩阵表示。狄拉克矩阵是由泡利矩阵表示的$4\times 4$矩阵。
\begin{equation}
\alpha_i=\begin{pmatrix}
0&\sigma_i\\
\sigma_i&0
\end{pmatrix}=\sigma_x\otimes\sigma_i,\quad\beta=\begin{pmatrix}
\sigma_0&0\\
0&-\sigma_0
\end{pmatrix}=\sigma_z\otimes\sigma_0
\end{equation}容易验证
\begin{equation}
\{\alpha_i,\alpha_j\}=\{\sigma_x\otimes\sigma_i,\sigma_x\otimes\sigma_j\}=\sigma_x^2\otimes\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}\mathbf{I}_{4\times4}
\end{equation} \begin{equation}
\{\alpha_i,\beta\}=\{\sigma_x\otimes\sigma_i,\sigma_z\otimes\sigma_0\}=\sigma_x\sigma_z\otimes\sigma_i\sigma_0+\sigma_z\sigma_x\otimes\sigma_0\sigma_i=0
\end{equation}上面利用了关系式$\sigma_i\sigma_j=\delta_{ij}+i\epsilon_{ijk}\sigma_k$
由于$\alpha_i^2=\beta^2=1$. 我们很容易看出$H^2=p^2+m^2$，正好是质能方程
\begin{equation}
E^2=p^2c^2+m^2c^4
\end{equation}自由电子能量存在两个解，一个是正能解一个是负能解
\begin{equation}
E_{\pm}=\pm\sqrt{m^2c^2+p^2c^4}
\end{equation}这个方程用于描述带自旋的电子运动，正能解对应两个态（spin up和spin down），负能解同样对应的正电子的两个解（spin up和spin down）。正电子和电子之间的能隙为$2mc^2$.