十重对称类

现在让我们讨论单粒子哈密顿量的非幺正对称的一般对称分类。注意到与哈密顿量交换的幺正对称，允许我们把哈密顿量变成块对角形式。这里我们的目的是分类这些不可约块的对称性质，它们不表现出任何幺正对称。到目前为止，我们已经考虑了下列离散对称: 

\begin{split}
        T^{-1}HT=H,\quad T=U_T\mathcal{K},\quad U_TU_T^*-\pm 1\\
        C^{-1}HC=-H,\quad C=U_C\mathcal{K},\quad U_CU_C^*=\pm 1\\
        S^{-1}HS=-H,\quad S=U_S,\quad U_S^2=1
    \end{split}

其中$\mathcal{K}$是复共轭算符。事实证明，这种对称性是详尽无遗的。也就是说，在不失一般性的前提下，我们可以假设只有一个带算子T的TRS和一个带算子C的PHS。如果哈密顿$H$在两个PH算符$C_1$和$C_2$的变换下式不变的，那么这两个对称性的组合$C_1\cdot C_2$将会是一个单粒子哈密顿的幺正对称，例如，乘积$U_{C_1}\cdot U_{C_2}$将会与$H$对易。

\begin{cases}
        C_1^{-1}HC_1=-H\\
        C_2^{-1}HC_2=-H
    \end{cases}\Rightarrow C_2^{-1}C_1^{-1}HC_1C_2=-C_2^{-1}HC_2=H\Rightarrow (C_1C_2)H=H(C_1C_2)

C_1C_2H=HC_1C_2\Rightarrow U_{C_1}\mathcal{K}U_{C_2}\mathcal{K}H=HU_{C_1}\mathcal{K}U_{C_2}\mathcal{K}\Rightarrow U_{C_1}U_{C_2}^*H=HU_{C_1}U_{C_2}^*

因此这可能回让$H$变成块对角形式，使得$U_{C_1}\cdot U_{C_2}^*$在每一个块上是常数矩阵。因此，在每个块上，$U_{C1}$和$U_{C2}$彼此之间的关系无关紧要，因此只考虑两个PH操作中的一个就足够了。然而$T\cdot C$的乘积对应于单粒子哈密顿的幺正对称。但是在这个情况里，幺正矩阵$U_T\cdot U_C^*$与$H$并不对易，而是反对易。因此$T\cdot C$并不代表$H$的一个“正常”的幺正对称。这就是为什么除了TR和PH对称性外，我们需要将乘积$T\cdot C$作为不可约块分类的另一个关键成分。

现在很容易看出哈密顿函数H在一般非幺正对称下只有十种可能的变换方式。首先我们看到对于$H$在TRS下如何变换只有三种可能性。

• H不是TR不变的，这种情况我们记作$T=0$
• 哈密顿是TR不变的，并且TR算子$T$的平方等于$+1$，这种情况我们记作$T=+1$
• 哈密顿在TR下是对称的并且$T$的平方等于$-1$，这种情况我们记作$T=-1$.

同样的，对于$H$在PH算符为$C$的PHS下如何变换的也有三种可能的方式

• H不是PH不变的，这种情况我们记作$C=0$
• 哈密顿是PH不变的，并且PH算子$C$的平方等于$+1$，这种情况我们记作$C=+1$
• 哈密顿在PH下是对称的并且$C$的平方等于$-1$，这种情况我们记作$C=-1$.

因此对于$H$在TRS和PHS下的变换有$3\times 3=9$种可能性。这些还不是全部十种情况，因为还需要考虑乘积$T\cdot C$下的哈密顿量的行为。思考一下，在$9$种可能性中，有$8$种$S=T\cdot C$的存在或不存在完全取决于$H$在TRS和PHS下的转换方式。(如果S不是哈密顿的对称性，我们记作$S=0$，如果是则记作$S=1$.) 但是在TRS和PHS都没有的情况下，存在额外的可能性是$S$仍然存在例如$S=0,S=1$这是可能的。这样哈密顿一共有$(3\times 3-1)+2=10$中可能的对称类

在$T,C,S$下的一次量子化哈密顿的十种行为如表所示。这十种通用对称类(“十重”)是在第三章中制定TIs和TSCs分类方案的框架。我们注意着十种对称类最初是由Atland和Zirnbauer在无序系统的文章中描述的，因此有时候被叫做AZ对称类。十重对称方式扩展和完善了众所周知Wigner和Dyson的三重方式框架