我们知道，如果矩阵能相似与对角矩阵，肯定会给理论和实际应用带来不少方便。可惜的是，不是所有方阵都能相似与对角矩阵。对于复数矩阵在实数域上甚至不能实对角化，而在物理上我们经常遇到复数矩阵对角化问题。
1、多项式矩阵、$\lambda-$矩阵
如果矩阵中每个元素都是$\lambda$的多项式，则称该矩阵为$\lambda-$矩阵
例如
\begin{equation*}
A(\lambda)=\begin{bmatrix}
2\lambda^2-3\lambda&\lambda-2&0\\
\lambda^2-\lambda+1&2&\lambda^3
\end{bmatrix}
\end{equation*}这是一个$2\times 3$的$\lambda-$矩阵.
元素全是数的矩阵叫做数元矩阵，数元矩阵可以看成特殊的多项式矩阵。
定义多项式矩阵下列三种初等变换
- 非零数$k$乘$A(\lambda)$的某行(列)；
- 将$A(\lambda)$的某行(列)的$g(\lambda)$倍加到另一行(列)，其中$g(\lambda)$是$\lambda$的多项式；
- 互换$A(\lambda)$的两行(列)。
类似于数元矩阵的倍法变换、消法变换、换法变换。这里要注意两点：倍法变换的$k$必须是非零常数，而不能是其他；消法变换的$g(\lambda)$是多项式，不是能是分式。
设$A(\lambda)$与$B(\lambda)$是两个同型的多项式矩阵，如果$A(\lambda)$可以经过有限次初等变换到$B(\lambda)$，则说$A(\lambda)$与$B(\lambda)$等价，记作$A(\lambda)\cong B(\lambda)$
对于$n$阶数元矩阵$A$特征矩阵$\lambda E-A$是一个特定的多项式矩阵。这里不加证明给出如下结果
对于$n$阶数元矩阵$A$，总有
\begin{equation*}
\lambda E-A\cong G(\lambda)=\begin{bmatrix}
g_1(\lambda)&\quad&\quad&\quad\\
\quad&g_2(\lambda)&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\cdots&\quad\\
\quad&\quad&\quad&g_n(\lambda)
\end{bmatrix}
\end{equation*}其中$g_1(\lambda),g_2(\lambda),\cdots,g_n(\lambda)$都是首项系数为$1$的多项式，并且
\begin{equation*}
|\lambda E-A|=g_1(\lambda)g_2(\lambda)\cdots g_n(\lambda)
\end{equation*}$\lambda E-A$经过有限次初等变换得到$G(\lambda)$，根据初等变换对矩阵相应行列式值的影响，可知$G(\lambda)$与$|\lambda E-A|$最多相差非零常数倍。注意到$|G(\lambda)|$与$|\lambda E-A|$的值表达式都是首项系数为$1$的多项式，所以上式成立。
对于$n$阶数元矩阵$A$，设$\lambda E-A$经初等变换化为对角矩阵$G(\lambda)$。将$g_1(\lambda),g_2(\lambda),\cdots,g_n(\lambda)$中的每个非常数多项式做复数域上的标准分解，各个分解式中的每一个一次因式方幂称为$A$的一个初等因子，初等因子的全体称为$A$的初等因子组。
例如对于$5$阶数元矩阵$A$
\begin{equation*}
\lambda E-A\cong\begin{bmatrix}
1&\quad&\quad&\quad&\quad\\
\quad&1&\quad&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\lambda(\lambda-1)&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\quad&1&\quad\\
\quad&\quad&\quad&\quad&\lambda(\lambda-1)^2
\end{bmatrix}
\end{equation*}$A$的初等因子组为：$\lambda,\lambda-1,\lambda,(\lambda-1)^2$
注意三点
- 方阵$A$的所有初等因子的乘积就是$A$的特征多项式
- 每个初等因子都和矩阵$A$的某个特征值相应，即如果$(\lambda-\lambda_i)^{m_i}$是$A$的一个初等因子，则$\lambda_i$一定是$A$的一个特征值
- $n$阶方阵$A$的所有初等因子幂次之和为$n$
方阵$A$与某一个特征值对应的初等因子未必只有一个，所以一般不能从$A$的特征多形式的标准分解式$\psi(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda-\lambda_t)^{n_t}$直接得到初等因子组为$(\lambda-\lambda_1)^{n_1},\cdots,(\lambda-\lambda_t)^{n_t}$.
在不计各初等因子相互次序的意义下，给定方阵$A$的初等因子组是唯一的，不会因为$\lambda E-A$所化成的对角矩阵不同而有所改变。
2、矩阵的Jordan标准型
在复数域上，如果$n$阶矩阵$A$的全部初等因子为
\begin{equation*}
(\lambda-\lambda_1)^{m_1},(\lambda-\lambda_2)^{m_2},\cdots,(\lambda-\lambda_s)^{m_s}
\end{equation*}则有
\begin{equation*}
A\sim J=\begin{bmatrix}
J_1&\quad&\quad&\quad\\
\quad&J_2&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\cdots&\quad\\
\quad&\quad&\quad&J_s
\end{bmatrix}
\end{equation*}其中
\begin{equation*}
J_i=\begin{bmatrix}
\lambda_i&1&\quad&\quad&\quad\\
\quad&\lambda_i&1&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\cdots&\cdots&\quad\\
\quad&\quad&\quad&\cdots&1\\
\quad&\quad&\quad&\quad&\lambda_i
\end{bmatrix}_{m_i\times m_i},i=1,2,\cdots,s
\end{equation*}该定理中的分块对角矩阵$J$称为矩阵$A$的Jordan标准型，称为Jordan型。Jordan型中各个子块$J_i$叫做Jordan块。每个Jordan块$J_i$恰好与$A$的一个初等因子$(\lambda-\lambda_i)^{m_i}$相对应。
例如之前的$5$阶数元矩阵，初等因子组为$\lambda,\lambda-1,\lambda,(\lambda-1)^2$，对应的Jordan块
\begin{equation*}
J_1=(0),J_2=(1),J_3=(0),J_4=\begin{bmatrix}
1&1\\
0&1
\end{bmatrix}
\end{equation*}所以对应的Jordan标准型为
\begin{equation*}
J=\begin{bmatrix}
0&\quad&\quad&\quad&\quad\\
\quad&1&\quad&\quad&\quad\\
\quad&\quad&0&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\quad&1&1\\
\quad&\quad&\quad&\quad&1
\end{bmatrix}
\end{equation*}- 对于给定的方阵$A$，在不计各Jordan块排列次序的意义下，$A$的Jordan标准型是唯一的；
- 方阵$A$的Jordan标准型$J$是上三角矩阵，主对角线上元素恰好是$A$的全部特征值
- 对角矩阵本身是Jordan型，每一个主对角元都是一阶Jordan块。
两个同阶方阵相似的充要条件是他们的Jordan形一致(不计Jordan块次序).
矩阵$A$能与对角矩阵相似的充分必要条件是它的初等因子全为一次式。
利用Jordan标准型可以得到下列推论：
如果$n$阶矩阵$A$的全部特征值是$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则矩阵$A^m$的全部特征值恰是$\lambda_1^m,\lambda_2^m,\cdots,\lambda_n^m$.(这里$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$可以有一些相同的数)
证明：设$A$的Jordan标准形为
\begin{equation*}
J=\begin{bmatrix}
J_1&\quad&\quad&\quad\\
\quad&J_2&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\cdots&\quad\\
\quad&\quad&\quad&\quad&J_s
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\lambda_1&*&\quad&\quad&\quad\\
\quad&\lambda_2&*&\quad&\quad\\
\quad&\quad&\cdots&\cdots&\quad\\
\quad&\quad&\quad&\cdots&*\\
\quad&\quad&\quad&\quad&\lambda_n
\end{bmatrix}
\end{equation*}$A\sim J\Rightarrow A^m\sim J^m$. 利用上三角矩阵计算得到
\begin{equation*}
\begin{bmatrix}
\lambda_1^m&*&*&\cdots&*\\
\quad&\lambda_2^m&*&\cdots&*\\
\quad&\quad&\cdots&\cdots&\cdots\\
\quad&\quad&\quad&\cdots&*\\
\quad&\quad&\quad&\quad&\lambda_n^m
\end{bmatrix}
\end{equation*}$J^m$是上三角矩阵，全部特征值就是对角元$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$. 这也就是$A^m$的全部特征值.
证明结束
Frobeius定理：设$n$阶矩阵$A$全部特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$，则对任意多项式$f(\lambda)$，矩阵$f(A)$的全部特征值恰是$f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)$