本文原文来自Ching-Kai Chiu的综述
本文是博主读综述时的笔记，仅供参考
对称性
我们回顾不同的对称性是如何在费米系统中实现的。设$\{\psi_{I},\psi_I^\dagger\}_{I=1,\cdots,N}$是费米子产生湮灭算符的集合。我们这里为了简单起见假设我们已经正规化了格点系统，$I,J$是格点$i,j$和其他量子数(例如泡利自旋量子数$I=(i,\sigma)$)的结合指标。产生湮灭算符满足反对易关系$\{\psi_I,\psi_J^\dagger\}=\delta_{IJ}$.
我们现在考虑一个广义的无相互作用费米子系统，由二次量子化哈密顿$H$描述。对于非超导系统，$H$为
\hat{H}=\psi_I^\dagger H^{IJ}\psi_J=\psi^\dagger H\psi其中，$N\times N$矩阵$H^{IJ}$是一次量子化哈密顿。在上述方程的右边，我们采用了爱因斯坦求和约定，最后一个等号是矩阵形式。(类似地，超导系统用Bogoliubov-de Gennes(BdG)哈密顿描述，我们用Nambu旋量而不是费米子算符，它的一次量子化形式还是在离散格点时的矩阵$H$)
根据对称表示理论，量子力学里任意的对称变换都可以表示为希尔伯特空间里的算符，这个算符要么是幺正的要么是反幺正的。我们从考虑一个幺正对称的例子开始，由一个算符集合$\{G_1,G_2,\cdots\}$描述，这个集合构成群。希尔伯特空间是它的表示空间$\{\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_2,\cdots\}$，表示矩阵由这些算符作用在希尔伯特空间上得到。对于我们的目的，根据他们作用在费米子算符来引入对称变换是很方便的。也就是说，我们考虑一个线性变换
\psi_I\rightarrow\psi_I':=\mathcal{U}\psi_I\mathcal{U}^{-1}=U_{I}^{J}\psi_J其中$\mathcal{U}$和$\psi_I,\psi_I^\dagger$是作用在费米子Fock空间的二次量子化算符。$U_I^J$是一堆数的几哈，实际上是表示矩阵，并不是二次量子化算符。更一般的可能是算符$\psi$和$\psi^\dagger$的混合幺正对称性。现在如果系统在$\mathcal{U}$下保持正则反对易关系和$\hat{H}$不变，则称这个系统是不变的。前一个条件意味着$U_I^J$是幺正矩阵，后一个条件可以得到$U^\dagger \hat{H}U=\hat{H}$
这里稍微证明一下上一段最后一句话
证明：
\begin{split}
\psi_I\rightarrow\psi'_I&=\mathcal{U}\psi_I\mathcal{U}^{-1}=U_I^J\psi_J\\
\psi_I^\dagger\rightarrow{\psi'}_I^\dagger&=(\mathcal{U}^{-1})^\dagger\psi_I^\dagger\mathcal{U}^\dagger=\psi_J^\dagger(U^{J}_{I})^*
\end{split}要求$\{\psi’_I,{\psi’}_J^\dagger\}=\delta_{IJ}$保持不变则有
\{\psi'_I,{\psi'}_J^\dagger\}=\{U_I^{I'}\psi_{I'},\psi_{J'}(U_J^{J'})^*\}=U_I^{I'}(U_J^{I'})^*=\delta_{IJ}
得证
当幺正对称算符$\mathcal{U}$被作用在空间部分时(例如格点坐标$i,j$)被称为空间变换，当幺正对称算符$\mathcal{U}$被作用在自旋部分时(例如自旋坐标$\uparrow,\downarrow$)被称为非空间变换。当$\mathcal{U}$可以被分解为$\mathcal{U}=\prod_{i}\mathcal{U}_i$时(例如分别作用在不同的格点时)，它不是空间变换，被称为在位。反幺正算符也有类似的定义。在这一节，我们关注于非空间对称，例如内部对称性，诸如TRS这种。空间对称在后面讨论。
值得注意，上述方程所考虑的这类幺正对称是一个全局对称性。正如我们在后面看到的，局域的对称性将会在SPT的探测中扮演至关重要的角色。
时间反演对称
我们现在考虑时间反演对称。时间反演是一个反幺正算符，作用在费米子产生湮灭算符上
\mathcal{T}\psi_I\mathcal{T}^{-1}=(U_{T})_I{}^J\psi_J,\quad \mathcal{T} i\mathcal{T}^{-1}=-i\mathcal{T} \psi_I^\dagger\mathcal{T}^{-1}=\psi_J^\dagger(U_T^*)^J{}_{I}如果一个系统在时间反演下保持反对易关系不变，哈密顿满足$\mathcal{T} \hat{H}\mathcal{T}^{-1}=\hat{H}$，则称该系统时间反演不变。值得注意，如果厄米算符$O$由费米子算符构成，在$\mathcal{T}$下保持不变，那么$\mathcal{T} \hat{H}\mathcal{T}^{-1}=\hat{H}$意味着
\mathcal{T} O(t)\mathcal{T}^{-1}=\mathcal{T} e^{i\hat{H}t}Oe^{-i\hat{H}t}\mathcal{T}^{-1}=O(-t)在无相互作用系统里，$\mathcal{T} \hat{H}\mathcal{T}^{-1}=\hat{H}$可以推出
\begin{split}
\mathcal{T} \hat{H}\mathcal{T}^{-1}&=\mathcal{T} \psi_I^\dagger H^{IJ}\psi_J\mathcal{T}^{-1}\\
&=\mathcal{T}\psi_I^\dagger\mathcal{T}^{-1}\mathcal{T} H^{IJ}\mathcal{T}^{-1}\mathcal{T}\psi_J\mathcal{T}^{-1}\\
&=\psi_{I'}^\dagger (U_T^*)^{I'}{}_{I}\mathcal{T} H^{IJ}\mathcal{T}^{-1}(U_T)_J{}^{J'}\psi_{J'}\\
&=\psi_{I'}^\dagger(U_T^*)^{I'}{}_I (H^{IJ})^* (U_T)_{J}{}^{J'}\psi_{J'}
\end{split}\hat{H}=\psi_I^\dagger H^{IJ}\psi_J=\mathcal{T} H\mathcal{T}^{-1}得到
(U^{I'}{}_I)^*(H^{IJ})^*U_{J}{}^{J'}=H^{I'J'},\quad U_T^\dagger H^*U_T=H上式推导中，为了方便忽略了$U_T$的下标$T$. 我们得到
\mathcal{T}:U_T^\dagger H^* U_T=+H因为任何给定的哈密顿量都有许多偶然的，即非泛型的对称性，所以我们考虑以下对称是泛型的哈密顿量的整个参数族(即系综)。这种具有给定的一般对称集合的哈密顿集合称为对称类。我们现在让$H$跑遍所有可能的TRS对称类的单粒子哈密顿。用两边TRS条件，我们得到
(U_T^\dagger)^* HU_T^*=H^*\Rightarrow U_T^\dagger (U_T^\dagger)^* HU_T^* U_T=U_T^\dagger H^* U_T=H
我们得到
(U_T^*U_T)^\dagger H(U_T^*U_T)=H
因为一次量子化哈密顿$H$跑遍所有不可约表示空间，根据舒尔定理，$U_T^* U_T$是常数矩阵。
U_T^*U_T=e^{i\alpha}\mathbf{1}因为$U_T$是幺正矩阵，可以得到
U_T^*=e^{i\alpha}U_T^\dagger\Rightarrow (U_T)^T=e^{i\alpha}U_T因此我们得到$e^{2i\alpha}=1$，这推导出两个可能性$U_T^*U_T=\pm 1$. 这样用$T^2$作用在费米算符$\psi_I$仅仅会重新生成$\psi_I$，唯一不确定的是正负号
\mathcal{T}^2\psi_I\mathcal{T}^{-2}=\mathcal{T} (U_T)_I^J \psi_J\mathcal{T}^{-1}=[(U_T)_I^J]^*(U_T)_J^K\psi_K=(U_T^*U_T\psi)_I=\pm\psi_I类似的对于由$n$个费米子产生湮灭算符组成的算符$O$来说，$\mathcal{T}^2\hat{O}\mathcal{T}^{-2}=(\pm 1)^n\hat{O}$. 总结来说，时间反演算符$\mathcal{T}$满足
\mathcal{T}^2=(\pm 1)^{\hat{N}},\quad U_T^*U_T=\pm 1其中$N:=\sum_I\psi_I^\dagger\psi_I$是总费米子粒子数算符。特别地，当$U_T^*U_T=-1$，$\mathcal{T}$平方对费米子数的宇称有下定义
\mathcal{G}_f:=(-1)^{\hat{N}}对于有$\mathcal{T}^2=-1$的系统，例如奇数个费米子系统满足$\mathcal{T}^2=\mathcal{G}_f$，时间反演不变导致Kramers简并。
粒子-空穴对称PHS
粒子空穴对称$\mathcal{C}$是一个混合费米子产生算符和湮灭算符的幺正变换：
\mathcal{C}\psi_I\mathcal{C}^{-1}=(U_C^*)_I{}^J\psi_J^\dagger=\psi_J^\dagger(U_C^\dagger)^J{}_I=[(U_C)_I{}^J\psi_J]^\dagger\mathcal{C}\psi_I^\dagger\mathcal{C}^{-1}=(U_C)_I{}^J\psi_J$\mathcal{C}$通常也被称为电荷共轭对称，因为在粒子数守恒的系统里，它翻转$U(1)$规范的荷$\mathcal{C} Q\mathcal{C}^{-1}=-Q$,其中$Q=N-N/2$，$N/2$是轨道数的一半，例如单粒子希尔伯特空间维数的一半。在$\mathcal{C}$变换下，正则反对易关系保持不变的要求，这让我们看到$U_C$是一个幺正矩阵。在无相互作用哈密顿$\hat{H}$中，PHS导致
\begin{split}
\hat{H}&=\mathcal{C}\hat{H}\mathcal{C}^{-1}\\
&=\mathcal{C}\psi_I^\dagger H^{IJ} \psi_J \mathcal{C}^{-1}\\
&=\mathcal{C}\psi_I^\dagger\mathcal{C}^{-1}\mathcal{C} H^{IJ}\mathcal{C}^{-1}\mathcal{C}\psi_J\mathcal{C}^{-1}\\
&=(U_C)_I{}^{I'}\psi_{I'}\mathcal{C} H^{IJ}\mathcal{C}^{-1} (U_C^*)_J{}^{J'}\psi_{J'}^\dagger\\
&=(U_C)_I{}^{I'}(U_C^*)_J{}^{J'}\psi_{I'}H^{IJ}\psi_{J'}^\dagger\\
&=-(U_C)_I{}^{I'}(U_C^*)_J{}^{J'}\psi_{J'}^\dagger H^{IJ}\psi_{I'}+(U_C)_I{}^{I'}(U_C^*)_J^{J'}H^{IJ}\delta_{I'J'}\\
&=-\psi_{J'}^\dagger(U_C^\dagger)^{J'}{}_JH^{IJ}(U_C)_I^{}{I'}\psi_{I'}+Tr(H)\\
&=-\psi^\dagger(U_C^\dagger H^TU_C)\psi+Tr(H)=\psi^\dagger H\psi
\end{split}这意味着
\mathcal{C}: U_C^\dagger H^T U_C=-H观察上式得到$Tr(H)=H^{II}=0$. 因为$H$是厄米的，单粒子哈密顿的PHS条件可以写成$-U_C^\dagger H^*U_C=H$. 观察PHS条件表明当$\mathcal{C}$作用在单粒子希尔伯特空间时，$\mathcal{C}$不是一个幺正对称性，而是哈密顿模去幺正转动的实现条件。通过重复与TRS相同的操作，我们可以看到有两类PH变换
U_C^\dagger H^T U_C=-H\Rightarrow U_C^THU_C^*=-H^T
U_C^\dagger U_C^THU_C^*U_C=-U_C^\dagger H^TU_C=H
$H$跑遍所有的不可约表示空间，可以得知$U_C^*U_C=e^{i\alpha}\mathbf{1}$. 这意味着$U_C=e^{i\alpha}U_C^T=e^{2i\alpha}U_C$, 所以$U_C^*U_C=\pm 1$. 同样的计算$\mathcal{C}^2\psi_I\mathcal{C}^{-2}$
\mathcal{C}^2\psi_I\mathcal{C}^{-2}=\mathcal{C} (U_C^*)_I{}^J\psi_J^\dagger\mathcal{C}^{-1}=(U_C^*)_I{}^JU_J{}^K\psi_K=(\pm 1)\psi_I
总结而言
\mathcal{C}^2=(\pm 1)^{\hat{N}},\quad U_C^*U_C=\pm 1
在PHS系统里，$\mathcal{C} \hat{H}\mathcal{C}^{-1}=\hat{H}$，对于每一个能量本征态$|\alpha\rangle$的PH反演对也是能量本征态，因为$\hat{H}\mathcal{C}|\alpha\rangle=\mathcal{C} \hat{H}\mathcal{C}^{-1}\mathcal{C}|\alpha\rangle=E_\alpha\mathcal{C}|\alpha\rangle$. 类似的，对于单粒子哈密顿，对于每一个对应能量$\varepsilon^A$哈密顿$H$的本征函数$u^A$，$H^{IJ}u^A_J=\varepsilon^A u_{I}^{A}$，有PH反演对$U_C^\dagger (u^A)^*$也是本征函数，但是能量为$-\varepsilon^A$，因为$HU_C^\dagger(u^A)^*=-U_C^\dagger H^*U_CU_C^\dagger (u^A)^*=-\varepsilon^AU_C^\dagger(u^A)^*$
\begin{split}
Hu^A&=\varepsilon^Au^A,\quad H^*(u^A)^*=\varepsilon^A (u^A)^*,\quad H^T=H^*
\end{split}U_C^\dagger H^TU_C=-H\Rightarrow U_C^\dagger H^T=-HU_C^\dagger\Rightarrow-H\Rightarrow U_C^\dagger H^*=-HU_C^\dagger
U_C^\dagger H^*(u^A)^*=-HU_C^\dagger (u^A)^*=\varepsilon^A U_C^\dagger(u^A)^*\Rightarrow HU_C^\dagger (u^A)^*=-\varepsilon^AU_C^\dagger(u^A)^*
作为一个PH对称系统的例子，我们研究定义在双粒子晶格上的Hubbard模型
\hat{H}=\sum_{ij}^{i\neq j}\sum_{\sigma}t_{ij}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}-\mathcal{U}\sum_{i}\sum_{\sigma}n_{i\sigma}+U\sum_{i}n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}其中$c_{i\sigma}^\dagger$是电子在格点$i$自旋为$\sigma=\uparrow,\downarrow$的产生算符，$n=c_{\sigma}c_{i\sigma}$. 这里$t_{ij}=t_{ji}^*$，$mu$和$U$表示Hopping矩阵元，化学势和相互作用强度。现在考虑如下的PH变换
\mathcal{C} c_{i\sigma}\mathcal{C}^{-1}=(-1)^{i}c_{i\sigma}^\dagger,\quad \mathcal{C} c_{i\sigma}^\dagger\mathcal{C}^{-1}=(-1)^{i}c_{i\sigma}
其中$(-1)^i$表示位置$i$的正负号，代表不同子格。当$\mathcal{U}=U/2$并且$t_{ij}$连接子格相同(不同)子格格点时纯虚数(实数)时，上述哈密顿在$\mathcal{C}$变换下不变。
\hat{H}_{int}=-\mathcal{U}\sum_i\sum_\sigma n_{i\sigma}+U\sum_{i}n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}
\begin{split}
\hat{H}_{int}\rightarrow\mathcal{C}\hat{H}_{int}\mathcal{C}^{-1}&=-\mathcal{U}\sum_{i\sigma}c_{i\sigma}c_{i\sigma}^\dagger+U\sum_{i}c_{i\uparrow}c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\downarrow}c_{i\downarrow}^\dagger\\
&=\mathcal{U}\sum_{i\sigma}(c_{i\sigma}^\dagger c_{i\sigma}-1)+U\sum_{i}(1-c_{i\uparrow}^\dagger c_{i\uparrow})(1-c_{i\downarrow}^\dagger c_{i\downarrow})\\
&=\mathcal{U}\sum_{i\sigma}n_{i\sigma}-2\mathcal{U} L+U\sum_{i}n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}-U\sum_{i}(n_{i\uparrow}+n_{i\downarrow})+UL\\
&=(\mathcal{U}-U)\sum_{i\sigma}n_{i\sigma}+U\sum_{i}n_{i\uparrow}n_{i\downarrow}-(2\mathcal{U}-U)L
\end{split}所以$\mathcal{U}=\frac{U}{2}$时，Hubbard模型满足PHS.
手征对称性/子格对称性
把TRS与PHS结合到一起可以得到第三种对称性，叫做手征对称性。也就是说，可以有这种情况，$\mathcal{T},\mathcal{S}$都是破缺的，但他们的组合却是对称的
\mathcal{S}=\mathcal{T}\cdot\mathcal{C}手征对称$\mathcal{S}$作用在费米子算符上为
\mathcal{S} \psi_I\mathcal{S}=(U_CU_T)_{I}{}^J\psi_J^\dagger从$\mathcal{S}\hat{H}\mathcal{S}^{-1}=\hat{H}$可以推出哈密顿二次型在$\mathcal{S}$变换下的描述为
\mathcal{S}:U_S^\dagger HU_S=-H,\quad U_S=U_C^*U_T^*值得注意，上式可以得到$Tr(H)=0$. 相同的手段我们可以看到
(U_S^2)^\dagger HU_S^2=H\Rightarrow HU_S^2=U_S^2 H
所以$U_S^2-e^{i\alpha}\mathbf{1}$. 这样可以重新定义$U_S\rightarrow e^{i\alpha/2}U_S$，单粒子哈密顿手征对称条件化简为
\mathcal{S}：\{H,U_S\}=0,\quad U_S^2=U_S^\dagger U_S=1从这里可以看出，手征算符的本征值是$\pm 1$. 除此之外，还可以提出一个条件$Tr(U_S)=0$(然而这并不是必须的)。手征对称产生了单粒子哈密顿的对称谱：如果$|u\rangle$是哈密顿$H$能量为$\varepsilon$的本征态，那么$U_S|u\rangle$也是它的本征态，本征值对应为$-\varepsilon$. 在这个基构成的空间里，$U_S$是对角的，单粒子哈密顿$H$是反对角的，
H=\begin{pmatrix}
0&D\\
D^\dagger&0
\end{pmatrix}$D$是$N_A\times N_B$的方片矩阵，$N_A+N_B=N$.
作为一个粒子，我们考虑紧束缚无自旋费米子哈密顿
\hat{H}=\sum_{m,n}t_{mn}c_m^\dagger c_n,\quad t_{m,n}=t_{nm}^*\in\mathbf{C}为了构造手征对称，我们结合PH对称和TR对称，这定义成$\mathcal{T} c_m\mathcal{T}^{-1}=c_m,\mathcal{T} i\mathcal{T}^{-1}=-i$. 这导致对称条件$\mathcal{S} c_m\mathcal{S}^{-1}=(-1)^m c_m^\dagger, \mathcal{S} i\mathcal{S}^{-1}=-i$. 当$t_{mn}$仅仅是连接不同子格之间的hopping时，$\hat{H}$是不变的。观察这个例子
Tr(U_S)=\sum_{n}\langle n|U_S|n\rangle=\sum_{n\in N_A}\langle n|n\rangle-\sum_{n\in N_B}\langle n|n\rangle=N_A-N_B,\quad U_S|n\rangle=\begin{cases}
|n\rangle\quad &n\in N_A\\
-|n\rangle\quad &m\in N_B
\end{cases}其中$N_A,N_B$分别是子格$A,B$格点数
除了上述双粒子Hopping模型，手征对称性也在玻色系统里实现了。