Class D
具有PHS和手性对称性的系统的重要例子是BdG哈密顿量，我们将在本节讨论。这些例子说明了物理上不同的多体对称条件可能导致单粒子哈密顿约束有相同集合
BdG哈密顿有Nambu旋量定义
\Psi=\begin{pmatrix}
\psi_1\\
\vdots\\
\psi_N\\
\psi_1^\dagger\\
\vdots\\
\psi_N^\dagger
\end{pmatrix},\quad
\Psi^\dagger=\begin{pmatrix}
\psi_1^\dagger&\cdots&\psi_N^\dagger&\psi_1&\cdots&\psi_N
\end{pmatrix}他们满足正则反对易关系$\{\Psi_A,\Psi_B\}=\delta_{AB},\{A,B=1,2,\cdots,2N\}$. 记住$\Psi$和$\Psi^\dagger$不是独立的很关键，但是他们之间有联系
(\tau_1\Psi)^T=\Psi^\dagger,\quad (\Psi^\dagger\tau_1)^T=\Psi
其中泡利矩阵$\tau_1$作用在Nambu空间上。实际上是$\tau_1=\sigma_x\otimes \mathbf{I}_N$. 利用Nambu旋量，BdG哈密顿$\hat{H}$可以写成
\hat{H}=\frac{1}{2}\Psi_A^\dagger H^{AB}\Psi_B=\frac{1}{2}\Psi^\dagger H\Psi\hat{H}=\psi_A^\dagger h^{AB}\psi_B=\frac{1}{2}\psi_A^\dagger h^{AB}\psi_B+\frac{1}{2}(\delta_{AB}h^{AB}-\psi_A (h^T)^{AB}\psi_B^\dagger)=\frac{1}{2}\Psi_A^\dagger H^{AB}\Psi_{B}+\frac{1}{2}Tr(h)
H=\begin{pmatrix}
h&0\\
0&-h^T
\end{pmatrix}因为$\Psi$和$\Psi^\dagger$不是独立的，单粒子哈密顿$H$必须满足一个约束。利用方程\eqref{BdG relation}，我们可以得到
\begin{split}
\hat{H}&=\frac{1}{2}(\tau_1\Psi)^TH(\Psi^\dagger\tau_1)^T=\frac{1}{2}[(\tau_1\Psi)^T]_{A}H^{AB}[(\Psi^\dagger \tau_1)^T]_{B}\\
&=\frac{1}{2}[\Psi^T\tau_1]_AH^{AB}[\tau_1\Psi^*]_B=\frac{1}{2}(\Psi^T)_{A'}(\tau_1)_{A'A}H^{AB}(\tau_1)_{BB'}\Psi^*_{B'}\\
&=-\frac{1}{2}\Psi_B^*(\tau_1)_{A'A}H^{AB}(\tau_1)_{BB'}(\Psi^T)_{A'}+\frac{1}{2}(\tau_1)_{A'A}H^{AB}(\tau_1)_{BB'}\delta_{A'B'}\\
&=-\frac{1}{2}\Psi^\dagger(\tau_1 H\tau_1)^T\Psi+\frac{1}{2}Tr)(\tau_1H\tau_1)
\end{split}所以有
\tau_1H^T\tau_1=-H
这样，每一个单粒子BdG哈密顿满足PHS。然而，上述条件并不是由于外加的对称性产生的，而是由于BdG哈密顿内置的来自费米统计的特性。因此，在BdG系统中$\tau_1 H^T\tau_1=-H$应该被叫做粒子-空穴守恒，或者费米子守恒，并不是一个对称性。由于方程$\tau_1 H^T\tau_1=-H$，任何BdG哈密顿都可以写成
H=\begin{pmatrix}
\xi&\Delta\\
-\Delta^*&-\xi^T
\end{pmatrix},\quad \xi=\xi^\dagger,\quad \Delta^T=-\Delta
其中$\xi$表示正常部分，$\Delta$表示反正部分(比如配对项)，
BdG哈密顿可以认为是马约拉纳费米子单粒子哈密顿。BdG哈密顿的马约拉纳表示由下得到
\begin{pmatrix}
\lambda_I\\
\lambda_{I+N}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\psi_I+\psi_I^\dagger\\
i(\psi_I-\psi_I^\dagger)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\lambda_1\\
\vdots\\
\lambda_N\\
\lambda_{N+1}^\dagger\\
\vdots\\
\lambda_{2N}^\dagger
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
I_N&I_N\\
iI_N&-iI_N
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\psi_1\\
\vdots\\
\psi_N\\
\psi_1^\dagger\\
\vdots\\
\psi_N^\dagger
\end{pmatrix}\Rightarrow \lambda=\Omega\Psi马约拉纳费米子满足
\{\lambda_A,\lambda_B\}=2\delta_{AB},\quad\lambda_A^\dagger=\lambda_A,\quad (A,B=1,2,\cdots,2N)
- $\{\lambda_A,\lambda\}=\{\psi_A+\psi_A,\psi_B+\psi_B^\dagger\}=\{\psi_A,\psi_B^\dagger\}+\{\psi_A^\dagger,\psi_B\}=2\delta_{AB}$
- $\{\lambda_A,\lambda_B\}=\{\psi_A+\psi_A^\dagger,i(\psi_B-\psi_B^\dagger)\}=-i\{\psi_A,\psi_B^\dagger\}+i\{\psi_A^\dagger,\psi_B\}=0$
- $\{i(\psi_A-\psi_A^\dagger),i(\psi_B-\psi_B^\dagger)\}=\{\psi_A,\psi_B^\dagger\}+\{\psi_A^\dagger,\psi_B\}=2\delta_{AB}$
在这个马约拉纳基底里，BdG哈密顿可以写成
\hat{H}=\Psi^\dagger H\Psi=\Psi^\dagger \Omega^\dagger\Omega H\Omega^\dagger \Omega \Psi=i\lambda^\dagger X\lambda
其中
iX=\Omega H \Omega^\dagger=\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}&-\frac{i}{2}\\
\frac{1}{2}&\frac{i}{2}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\xi&\Delta\\
-\Delta^*&-\xi^T
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
R_-+S_-&-i(R_+-S_+)\\
i(R_++S_+)&R_--S_-
\end{pmatrix},\quad X^T=-X\begin{cases}
R_+=\xi+\xi^T,&\quad R_+^T=R_+,\quad R_+^*=R_+\\
R_-=\xi-\xi^T,&\quad R_-^T=-R_-,\quad R_-^*=-R_-\\
S_+=\Delta+\Delta^*,&\quad S_+^T=-S_+,\quad S_+^*=S_+\\
S_-=\Delta-\Delta^*,&\quad S_-^T=-S_-,\quad S_-^*=-S_-
\end{cases}我们注意实斜对称阵$X$可以通过正交变换变成块对角矩阵。
X=O\Sigma O^T,\quad\Sigma=\begin{pmatrix}
0&\varepsilon_1\\
-\varepsilon_1&0\\
&&\ldots\\
&&&0&\varepsilon_N\\
&&&-\varepsilon_N&0
\end{pmatrix}其中$O$是正交矩阵，$\varepsilon_I\geq0$. 转动基底$\xi:=O^T\lambda$，哈密顿有形式$\hat{H}=i\xi^T\Sigma\xi=2\sum_{I=1}^N\varepsilon_I\xi_{2I-1}\xi_{2I}$
虽然用马约拉纳算符重写BdG哈密顿量总是可能的，但马约拉纳算符是哈密顿量的本征态是相当罕见的。也就是说，未配对或孤立的Majorana零能本征态在BdG系统中非常罕见，只出现在特殊情况下。此外，我们注意到，一般来说，没有一种自然的方法可以将给定的马约拉纳哈密顿量改写为BdG哈密顿量，因为一般来说，没有任何自然的方法可以说明如何从给定的马约拉纳算符集合中形成复费米子算符。(要定义好这样一个公式，一个必要条件是马约拉纳哈密顿量必须是一个偶维矩阵。)
综上所述，单粒子BdG哈密顿具有PH守恒的特征。满足PHS的哈密顿集合称为Class D。通过施加各种对称，BdG哈密顿可以实现其他五个对称Class:DIII, A, AIII, C，和CI。
Class DIII
我们从研究满足$\mT^2=\mathcal{G}_f$的TRS下BdG哈密顿的约束形式。出于这个目的，我们把费米子算符标记自旋，例如我们设$\psi_I=\psi_{I\sigma}$. 我们引入TRS条件
\mathcal{T}\psi_{I\sigma}\mathcal{T}^{-1}=(i\sigma_2)_{\sigma\sigma'}\psi_{I\sigma'}其中$\sigma_2$是作用在自旋空间的泡利矩阵。BdG哈密顿满足
\tau_1 H^T \tau_1=-H,\quad\sigma_2 H^*\sigma_2=H
值得注意，上面的$\tau_1$作用于Nambu空间，$\sigma_2$作用于自旋空间。正如我们之前讨论的，PH守恒荷TRS可以结合成手征对称性$\tau_1\sigma_2 H\sigma_2\tau_1=-H$. 观察在这个手征对称性的实现中$TrU_S=0$. 满足上述对称性条件的哈密顿集合叫做Class DIII.(如果把条件$\mathcal{T}^2=\mathcal{G}_f$替换为$\mathcal{T}^2=1$将会导致一个不同的Class，称为BDI)