接下来我们讨论有在自旋空间中绕$S_z$轴$U(1)$自旋转动对称的BdG系统。这个对称性允许我们重新调整BdG哈密顿到一个约化的形式
\hat{H}=\Psi_A^\dagger H^{AB}\Psi_B其中$H$是$2N$维没有约束的矩阵
\Psi^\dagger=\begin{pmatrix}
\psi_{I\uparrow}^\dagger&\psi_{I\downarrow}
\end{pmatrix},\quad \Psi=\begin{pmatrix}
\psi_{I\uparrow}\\
\psi_{I\downarrow}^\dagger
\end{pmatrix}因为$H$没有约束，这个哈密顿属于Class A.
这个系统满足绕$z$轴的$U(1)$转动$\mathcal{U}_{S_z}^\phi=e^{-i(\frac{\phi}{2})\sigma_z}$. 这个转动作用在基本二分量旋量上为
\mathcal{U}_{S_z}^{\phi}=e^{-i\frac{\phi}{2}\sigma_z}\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
e^{-i\frac{\phi}{2}}\\
&e^{i\frac{\phi}{2}}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow
\end{pmatrix}所以我们有在$U(1)$转动变换下
\begin{cases}
\psi_\uparrow\rightarrow e^{-i\frac{\phi}{2}}\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow\rightarrow e^{i\frac{\phi}{2}}\psi_\downarrow\\
\psi_\uparrow^\dagger\rightarrow e^{i\frac{\phi}{2}}\psi_\uparrow^\dagger\\
\psi_\downarrow^\dagger\rightarrow e^{-i\frac{\phi}{2}}\psi_\downarrow^\dagger
\end{cases}\Rightarrow\Psi\rightarrow\mathcal{U}_{S_z}^\phi\Psi\mathcal{U}_{S_z}^{-\phi}= e^{-i\frac{\phi}{2}}\Psi
满足绕$z$轴$U(1)$转动对称哈密顿为:
\hat{H}=\mathcal{U}_{S_z}^{\phi}\hat{H}\mathcal{U}_{S_z}^{-\phi}=\mathcal{U}_{S_z}^{\phi}\Psi^\dagger\mathcal{U}_{S_z}^{-\phi}\mathcal{U}_{S_z}^{\phi}H\mathcal{U}_{S_z}^{-\phi}\mathcal{U}_{S_z}^{\phi}\Psi\mathcal{U}_{S_z}^{-\phi}=\Psi(\mathcal{U}_{S_z}^{\phi}H\mathcal{U}_{S_z}^{-\phi})\Psi
绕$z$轴$U(1)$转动对称条件为
S_zHS_z^{-1}=H因为$\Psi$和$\Psi^\dagger$是完全独立的算符，把费米算符做$\psi_{\downarrow}^\dagger\rightarrow \psi_\downarrow,\psi_{\downarrow}\rightarrow\psi_\downarrow^\dagger$的替换是可能的。通过这样的替换，BdG哈密顿可以转化为一个正常的粒子数守恒费米子系统：
\Psi^\dagger\rightarrow\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow^\dagger&\psi_\downarrow^\dagger
\end{pmatrix},\quad \Psi\rightarrow\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow
\end{pmatrix},\quad [\hat{H},\hat{N}]=0,\quad \hat{N}=\psi_\uparrow^\dagger\psi_\uparrow+\psi_\downarrow^\dagger\psi_\downarrow
在这个过程里BdG系统的$U(1)$自旋旋转对称性变成一个虚拟的$U(1)$规范荷对称。
\Psi=\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow^\dagger
\end{pmatrix}\rightarrow e^{-i\frac{\phi}{2}}\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow^\dagger
\end{pmatrix}=e^{-i\frac{\phi}{2}}\Psi\quad\text{(绕$S_z$轴自旋旋转对称)}
\Psi=\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow
\end{pmatrix}\rightarrow e^{-i\frac{\phi}{2}}\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow
\end{pmatrix}=e^{-i\frac{\phi}{2}}\Psi\quad\text{(替换后变成粒子数守恒系统的$U(1)$规范对称)}
我们现在对原哈密顿添加$TRS$，作用在$\Psi$为
\mathcal{T}\Psi \mathcal{T}^{-1}=\mathcal{T}\begin{pmatrix}
\psi_\uparrow\\
\psi_\downarrow^\dagger
\end{pmatrix}\mathcal{T}^{-1}=\begin{pmatrix}
\psi_\downarrow\\
-\psi_\uparrow^\dagger
\end{pmatrix}=i\rho_2(\Psi^\dagger)^T=:\Psi^c
其中$\rho_{1,2,3}$表示作用在旋量\eqref{spinor}的粒子-空穴上和自旋分量上的泡利矩阵。观察这个，如果我们令$\psi_\uparrow^\dagger\rightarrow\psi_\uparrow$，那么$\mathcal{T}$在上述变换中表现得像$\mathcal{T}$和$\mathcal{C}$的组合，也就是手征对称。
\begin{cases}
\psi_\uparrow^\dagger\rightarrow\psi_\uparrow\\
\psi_\uparrow\rightarrow\psi_\uparrow^\dagger
\end{cases},\quad \mathcal{T} \begin{pmatrix}
\psi_\uparrow^\dagger\\
\psi_\downarrow^\dagger
\end{pmatrix}\mathcal{T}^{-1}=\begin{pmatrix}
\psi_\downarrow\\
-\psi_\uparrow
\end{pmatrix},\quad\text{(这里的$\mathcal{T}$并不表示时间反演，表示替换后的对称性)}
手征对称性$\mathcal{T}\mathcal{C}$和$U(1)$荷$Q$在粒子数守恒系统里$(\mathcal{T}\mathcal{C})Q(\mathcal{T}\mathcal{C})^{-1}=Q$的关系同构于$TRS$和$S_z$在$BdG$系统里$S_z$守恒的关系$\mathcal{T} S_z\mathcal{T}^{-1}=S_z$. 也就是说，通过将式\eqref{class a}重新解释为粒子数守恒系统，TRS变成了手征对称。
满足手征对称的哈密顿集合叫做Class AIII. 因此，具有$S_z$守恒荷$TRS$的BdG系统属于Class A和AIII.