量子物质的能隙相在拓扑上可以通过它们是否在相图中连接来区分。如果两个有能隙的量子相可以在不闭合能隙的情况下，通过绝热或连续路径在相图中相互转换，那么它们在拓扑上是等价的。具体而言，可以连续形变到原子绝缘体(一堆独立原子的集体)的态被叫做拓扑平凡或者平凡带绝缘体。换句话说，那些与原子绝缘体不连通的态叫做拓扑非平庸态。
由于物理系统可以通过对称性的存在或不存在来表征，因此讨论量子相在存在某种对称性条件下的拓扑区分是有意义的。让我们考虑给定对称类和固定空间维d内的哈密顿集合，并考虑有能隙的绝缘体和超导基态之间是否存在拓扑上的区别。特别地，我们集中于拓扑绝缘体和超导在由Bloch-BdG哈密顿描述的自由费米系统中的分类。也就是说，我们对这种形式的二次哈密顿感兴趣
\hat{H}=\sum_{r,r'}\Psi_i^\dagger H^{ij}(r,r')\Psi_j(r')其中$\Psi_i(r)$是多组分费米子湮灭算符，指标$r$标记在一个格点上的$d$维格点。被定义在$d$维格点上的二次型BdG哈密顿可以被类似的处理。单粒子哈密顿$H^{ij}(r,r’)$属于十重AZ对称类的其中一个并且受一系列对称性的约束
假设物理系统具有平移对称性$H^{ij}(r,r’)=H^{ij}(r-r’)$和在每一个空间方向上有周期性边界条件，用对应的动量空间中的单粒子哈密顿描述是很方便的
\Psi_i(r)=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{k\in BZ^d}e^{ik\cdot r}\Psi_i(k),\quad H^{ij}(k)=\sum_{r}e^{ik\cdot r}H^{ij}(r)其中$V$表示格点的总数。TRS，PHS和手征对称作用在单粒子哈密顿$H(k)$上为
\begin{split}
&TH(r)T^{-1}=H\Rightarrow T\sum_{k\in BZ}e^{-ik\cdot r}H(k)T^{-1}\Rightarrow\sum_{k\in BZ}e^{-ik\cdot r}TH(-k)T^{-1}\Rightarrow TH(k)T^{-1}=H(-k)\\
&CH(r)C^{-1}=-H\Rightarrow C\sum_{k\in BZ}e^{-ik\cdot r}H(k)C^{-1}\Rightarrow\sum_{k\in BZ}e^{-ik\cdot r}CH(-k)C^{-1}\Rightarrow CH(k)C^{-1}=-H(-k)\\
&SH(r)S^{-1}=-H\Rightarrow S\sum_{k\in BZ}e^{-ik\cdot r}H(k)S^{-1}\Rightarrow\sum_{k\in BZ}e^{-ik\cdot r}SH(k)S^{-1}\Rightarrow SH(k)S^{-1}=-H(k)
\end{split}其中$T,C,S$分别是反幺正$TR,PH$和幺正的手征算符。在这个基础上，我们问两个属于同一对称类的有能隙二次哈密顿量是否可以在不闭合能隙的情况下连续地相互转换。也就是说，我们将给定对称类的能隙哈密顿量划分为不同的拓扑等价类。通过周期表总结了这一分类的结果。$D=0$的情况对应于有能隙的体拓扑绝缘体和拓扑超导体的十重分类。
以下是对表中值得注意特点的评论:
- Class A与Class AIII和其他对称类分开看。我们把前者叫做复对称类，后者叫做实对称类。复对称类没有TRS和PHS
- 符号$Z,Z_2,2Z$和$0$表示是否拓扑绝缘体和拓扑超导体在给定维数存在给定的对称类，如果存在则表示拓扑相的不同特征。例如$2Z$表示拓扑相的特征由一个偶数整数的拓扑不变量表征,$0$仅仅意味着不存在拓扑绝缘体和拓扑超导体。在给定维数的对称类中的所有状态都是可以绝热变形的。
- 在上述表中，所谓的弱拓扑绝缘体和拓扑超导体，它们是存在于晶格平移对称的非平凡拓扑相，没有被提出。也就是说，表中只展示了强拓扑绝缘体和强拓扑超导体，它们的存在并不依赖于平移对称性。然而在给定对称类中弱拓扑绝缘体和拓扑超导体的存在与否可以被在相同对称类的低维强拓扑绝缘体和拓扑超导体的存在与否推导出来。
- 对于复对称类和实对称类，分类表表现出2和8作为空间维数的函数的周期性。此外，请注意，不同对称类的分类是通过维度移位相关联的。出于这个原因，用一个从0到7的整数s来标记8个真实的AZ对称类是很方便的，它可以被安排在一个周期为8的时钟上，即“Bott时钟”。在维数d和对称类s中拓扑绝缘体和拓扑超导体的分类记作$K(s;d,0)$如下所示。
- 现在，让我们检查表中不同类型的拓扑相出现的模式。沿表的主对角线，出现的拓扑相的特征是一个整数拓扑不变量(Z)。这些拓扑相被叫做基系列. 就在基系列的左下方，具有$Z_2$拓扑不变量的拓扑相位有两组对角线元。这些拓扑相分别被称为“第一代”和“第二代”。还存在一系列具有$2Z$不变量特征的拓扑相，即具有偶整数拓扑不变量。这些项被称为“偶数系列”。
为了讨论具有拓扑非平凡态的一个可观察的结果，让我们回想一下，根据定义，如果严格执行对称条件，相图中的拓扑非平凡态和平凡态总是被量子相变分开的。这反过来意味着，如果拓扑绝缘体或拓扑超导体在空间上接近一个平凡相，那么在两相之间的边界上应该有一个无能隙的态。这种无能隙(即临界)状态可以被认为是由于空间中局部发生的相变而产生的，在这种相变中，哈密顿量的参数作为横向到边界方向的函数变化。这种无能隙边界模在这样的意义上得到了保护，即只要体隙不和对称性不被破坏，它们在扰动下是稳定的。特别是，无能隙边界模完全不受无序影响，完全规避Anderson局部化。这种无间隙边界状态的存在是拓扑绝缘体和拓扑超导体最显著的特征，实际上可以看作是拓扑绝缘体和拓扑超导体的定义。这种非平凡体拓扑性质和无能隙边模之间的紧密联系被称为体边对应