Stiefel流形

在数学上Stiefel流形$V_k(\mathbb{R}^n)$是在$\mathbb{R}^n$上所有过原点$k$维正交标架的集合。也就是说，它是$\mathbb{R}^{n}$中向量的有序正交$k$元组的集合。类似的，可以在$\mathbb{C}^n$中的$k$维复正交标架定义复Stiefel流形$V_k(\mathbb{C}^n)$. 同样的在四元数空间$\mathbb{H}^n$上也可以定义$V_k(\mathbb{H}^n)$. 更一般地，这种构造适用于任何实、复或四元内积空间。

令$\mathbb{F}$表示$\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$. Stiefel流形$V_k(\mathbb{F}^n)$可以被看成一个$n\times k$的矩阵集合，其中把$k$标架写成$\mathbb{F}^n$中$k$列向量排成的矩阵。正交关系可以写成$A^{\dagger}A=I_k$，其中$A^\dagger$表示转置共轭，$I_k$表示$k\times k$的单位矩阵。所以有

V_k(\mathbb{F}^n)=\{A\in\mathbb{F}^n|A^\dagger A=I_k\}

\begin{aligned}
    \operatorname{dim} V_{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right) &=n k-\frac{1}{2} k(k+1) \\
    \operatorname{dim} V_{k}\left(\mathbb{C}^{n}\right) &=2 n k-k^{2} \\
    \operatorname{dim} V_{k}\left(\mathbb{H}^{n}\right) &=4 n k-k(2 k-1)
    \end{aligned}

每个Stiefel流形$V_{k}(\mathbb{F}^{n})$都可以被视为经典群以自然方式作用的齐次空间。

在$\mathbb{R}^{n}$中，$k$标架的每一个正交变换都会得到另一个$k$标架，并且任意两个$k$标架通过某些正交变换相互关联。换句话说，正交群$O(n)$在$V_k(\mathbb{R}^n)$上作用传递。给定标架的迷向子群同构于$O(n-k)$，$O(n−k)$非平凡地作用于该坐标系所生成空间的正交补。

同样的$U(n)$对于$V_k(\mathbb{C}^n)$作用传递，迷向子群是$U(n-k)$. 辛群$Sp(n)$对于$V_k(\mathbb{H}^n)$作用传递，迷向子群是$Sp(n-k)$

所以$V_k(\mathbb{F}^n)$可以被看成一个齐性流形

\begin{aligned}
    V_{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right) & \cong \mathrm{O}(n) / \mathrm{O}(n-k) \\
    V_{k}\left(\mathbb{C}^{n}\right) & \cong \mathrm{U}(n) / \mathrm{U}(n-k) \\
    V_{k}\left(\mathbb{H}^{n}\right) & \cong \mathrm{Sp}(n) / \mathrm{Sp}(n-k)
    \end{aligned}

当$k=n$时，对应于作用自由，Stiefel流形$V_k(\mathbb{F}^n)$是对应经典群的一个主齐次空间。

当$k$严格小于$n$时，$SO(n)$也对$V_k(\mathbb{R}^n)$作用传递，迷向子群是$SO(n-k)$

V_{k}\left(\mathbb{R}^{n}\right) \cong \operatorname{SO}(n) / \mathrm{SO}(n-k)\quad k< n

对于$V_k(\mathbb{C}^n)$同样成立

V_{k}\left(\mathbb{C}^{n}\right) \cong \mathrm{SU}(n) / \mathrm{SU}(n-k) \quad \text { for } k<n

因此，对于$k = n−1$,Stiefel流形是相应的特殊经典群的主齐次空间。