在数学上，Grassmannian流形$Gr(k, V)$是一个参数化$n$维向量空间$V$的所有$k$维线性子空间的集合。例如，Grassmannian流形$Gr(1, V)$是通过$V$中原点直线构成的集合，因此它与比$V$低一维的射影空间相同。
当$V$是实向量空间或复向量空间时，Grassmannian流形是紧致光滑流形。一般来说，它们具有平滑代数簇的结构，维数为$k(n-k)$
给出Grassmannian一个几何结构的最快方法是把它表示为一个齐次流形。首先，回想一下一般线性群$GL(V)$作用于$V$的$r$维子空间。因此如果在这个作用下$H$是不动子空间，我们有
Gr(r,V)=GL(V)/H
如果数域$V$是$R$或$C$，并且$GL(V)$被认为是一个李群，那么这种构造使Grassmannian变成一个光滑流形。也可以使用其他群来构建这种结构。为了做到这一点，在$V$上固定一个内积。在$R$上，用正交群$O(V)$代替$GL(V)$，通过限制在正交坐标系中，就得到了恒等式
\mathbf{G r}(r,\mathbb{R}^n)=\mathrm{O}(n) /(\mathrm{O}(r) \times \mathrm{O}(n-r))
特别地，Grassmannian的维数是$r(n−r)$
在$C$上，用$U(V)$群代替$GL(V)$。这表明格拉斯曼是紧致的。这些结构也使格拉斯曼成为一个度量空间:对于$V$的子空间$W$，令$P_W$是$V$向$W$的投影算符，则有
d(W,W')=\|P_W-P_{W'}\|其中$\|\cdot\|$表示算符的范数。时候$Gr(r,V)$上的度量。所用的内积并不重要，因为不同的内积会给出$V$上的一个等价范数，从而给出一个等价度规。
下面举几个例子
- $CP^n$:通过$\mathbb{C}^{n+1}$原点的复直线的集合。作用于$CP^n$上的传递群为$SU(n+1)$，它把复直线映射到复直线，迷向子群为$U(n)\times U(1)$，它不改变复直线
CP^n\simeq SU(n+1)/(U(n)\times U(1))\simeq S^{2n+1}/U(1)\simeq C^{n}\cup \{\infty\}
当$n=1$时，$CP^1\simeq SU(2)/U(1)\simeq S^3/U(1)\simeq S^2$
- $RP^n$:通过$\mathbb{R}^{n+1}$原点实直线的集合。作用于$RP^n$上的传递群为$SO(n+1)$，迷向子群为$O(n)\times Z_2$.(这里注意$O(1)\simeq Z_2$) 即
RP^n\simeq SO(n+1)/(O(n)\times Z_2)\simeq S^n/Z_2
- 一般实Grassmannian流形：$R^n$中所有过原点的$k$维子空间的集合叫做Grassmannian流形$G(k,\mathbb{R}^n)$，它是正交群的陪集流形
G(k,\mathbb{R}^n) \simeq O(n) / (O(n-k) \times O(k))
是$k(n-k)$维紧致连通流形
- 一般复Grassmannian流形：$C^n$中所有过原点的复$k$维子空间的集合叫做Grassmannian流形$G(k,\mathbb{C}^n)$，它是$U(n)$群的陪集流形
G(k,\mathbb{C}^n) \simeq U(n) / (U(n-k) \times U(k))