对于Bloch-BdG哈密顿，只要$d+D$为偶数，Chern数总是可以被定义的(尽管它的允许值取决于对称类和δ)。另一方面，拓扑不变量只有在对称存在的情况下才能定义。一个例子是拓扑不变量缠绕数$\nu$，它仅仅在手征对称($\{H(k,r),U_S\}=0,U_S^2=1$)出现的情况下才能定义。简单起见，我们关注于$TrU_S=0$的情况，例如$N_+=N_-=N$.在不存在手性对称性的情况下，投影算符是复Grassmannian的一个元素，而在存在手性对称性的情况下，相关的空间是酉群$U(N)$. 这点可以从手征对称哈密顿的反对角形式看到
H(k,r)=\begin{pmatrix}
0&D(k,r)\\
D^\dagger(k,r)&0
\end{pmatrix}对应的，在这个基里，$Q$矩阵也是反对角的
Q=1-2P(k,r)=\begin{pmatrix}
0&q(k,r)\\
q^\dagger(k,r)&0
\end{pmatrix}这里稍微证明一下
选取$H$的一个基底$|u\rangle$满足$H|u\rangle=\varepsilon|u\rangle$，由于手征对称并且$TrU_S=0$，每一个能级$\varepsilon$的$|u\rangle$都有一个能量$-\varepsilon$的$U_S|u\rangle$对应。我们知道
\begin{split}
U_S|\alpha\rangle&=|\alpha\rangle\\
U_S|\beta\rangle&=-|\beta\rangle
\end{split}其中$|\alpha\rangle=|u\rangle+U_S|u\rangle,|\beta\rangle=|u\rangle-U_S|u\rangle$
这样我们可以到从$H$对角表象到CS表象下的变换关系
\begin{split}
|u\rangle=\frac{1}{2}(|\alpha\rangle+|\beta\rangle)\\
|U_Su\rangle=\frac{1}{2}(|\alpha\rangle-|\beta\rangle)
\end{split}计算$Q$矩阵得到
Q=|U_Su\rangle\langle U_Su|-|u\rangle\langle u|=-\frac{1}{2}(|\alpha\rangle\langle\beta|-|\beta\rangle\langle\alpha|)=\begin{pmatrix}
0&q(k,r)\\
q^\dagger(k,r)&0
\end{pmatrix}其中反对角块$q(k,r)$是一个幺正矩阵。因此$q$矩阵定义了一个从底流形$BZ^d\times \mathcal{M}^D$到李群流形$U(N)$的映射。拓扑上区分这类映射是用同伦群$\pi_{d+D}(U(N))$分类，这个同伦群在$d+D$为奇数时是非平凡的，例如$\pi_{d+D}[U(N)]=\mathbf{Z}$($N$足够大)。拓扑不同的映射是用缠绕数来表征的
\begin{split}
\nu_{2n+1}[q]&=\int_{BZ^d\times\mathcal{M}^D}\omega_{2n+1}[q]\\
\omega_{2n+1}[q]&=\frac{(-1)^nn!}{(2n+1)!}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n+1}Tr[(q^{-1}\mathrm{d}q)^{2n+1}]
\end{split}其中$d+D=2n+1$是奇数。例如当$(d,D)=(1,0),(3,0)$我们有
\begin{split}
\nu_1&=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ}\mathrm{d}kTr[q^{-1}\partial_k q]\\
\nu_3&=\int_{BZ}\frac{\mathrm{d}^3k}{24\pi^2}\varepsilon^{\mu\nu\rho}Tr[(q^{-1}\partial_\mu q)(q^{-1}\partial_\nu q)(q^{-1}\partial_\rho q)]
\end{split}这里$\partial_\mu=\partial_{k_\mu}$