我们现在引入另一个拓扑不变量，Chern-Simons不变量。这个不变量可以在$d+D=$奇数时定义，并且不像Chern数是量子化的。然而，在对称性存在的情况下，它可以取离散值。我们随后使用量化的CS不变量来描述第一代$Z_2$和第二代$Z_2$。这里我们看到$CS$不变量在出现手征对称性时也是量子化的。
Chern-Simons不变量由$d+D=2n+1$维里Chern-Simons形式$Q_{2n+1}$定义
\mathcal{Q}_{2n+1}=\frac{1}{n!}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{n+1}\int_{0}^{1}Tr(\mathcal{AF}_{t}^n),\quad F_t=t\mathrm{d}\mathcal{A}+t^2\mathcal{A}^2=t\mathcal{F}+(t^2-t)\mathcal{A}^2对Chern-Simons形式在底流形上积分得到Chern-Simons不变量
CS_{2n+1}[\mathcal{A}]=\int_{BZ^d\times\mathcal{M}^D}\mathcal{Q}_{2n+1}(\mathcal{A})
例如对于$n=0,1,2$
\begin{split}
\mathcal{Q}_1(\mathcal{A})&=\frac{i}{2\pi}\int_0^1\mathrm{d}tTr(\mathcal{A})=\frac{i}{2\pi}Tr(\mathcal{A})\\
\mathcal{Q}_3(\mathcal{A})&=\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{2}\int_0^1\mathrm{d}tTr(\mathcal{A}(t\mathrm{d}\mathcal{A}+t^2\mathcal{A}^2))=-\frac{1}{4\pi^2}Tr(\frac{1}{2}\mathcal{A}\mathrm{d}\mathcal{A}+\frac{1}{3}\mathcal{A}^3)=-\frac{1}{8\pi^2}Tr(\mathcal{A}\mathrm{d}\mathcal{A}+\frac{2}{3}\mathcal{A}^3)\\
\mathcal{Q}_5(\mathcal{A})&=\frac{1}{2}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^3\int_0^1Tr(\mathcal{A}(t\mathrm{d}\mathcal{A}+t^2\mathcal{A}^2)^2)=-\frac{i}{16\pi^3}\int_0^1Tr(t^2\mathcal{A}(\mathrm{d}\mathcal{A})^2+2t^3\mathcal{A}^3\mathrm{d}\mathcal{A}+t^4\mathcal{A}^5)\\
&=-\frac{i}{16\pi^3}Tr(\frac{1}{3}\mathcal{A}(\mathrm{d}A)^2+\frac{1}{2}\mathcal{A}^3\mathrm{d}\mathcal{A}+\frac{1}{5}\mathcal{A}^5)=-\frac{i}{48\pi^3}Tr(\mathcal{A}(\mathrm{d}\mathcal{A})^2+\frac{3}{2}\mathcal{A}^2\mathrm{d}\mathcal{A}+\frac{3}{5}\mathcal{A}^5)
\end{split}Chern-Simons形式不是规范不变的。Chern-Simons的积分形式也不是。但是对于两个不同的规范选择$A$和$A^g$，它们由一个规范变换$g$连接
A^g=g^{-1}Ag+g^{-1}\mathrm{d}g,\quad \mathcal{F}^g=g^{-1}\mathcal{F}g
Chern-Simons形式的差$\mathcal{Q}_{2n+1}(A^g)-\mathcal{Q}_{2n+1}(A)$由缠绕数密度$\omega_{2n+1}[g]$和一个全导数项给出
\mathcal{Q}_{2n+1}(A^g)-\mathcal{Q}_{2n+1}(A)=\omega_{2n+1}[g]+\mathrm{d}\alpha_{2n+1}(A,g)
这样对于Chern-Simons形式的积分
CS_{2n+1}[A^g]-CS_{2n+1}[A]=integer并且指数形式
W_{2n+1}=\exp(2\pi i CS_{2n+1}[A])是良定义的，规范不变的量，虽然他不必要是量子化的。
到目前为止，讨论都是泛泛的。我们现在计算了手征对称存在下的CS不变。为此，我们首先明确地写下手征对称哈密顿量的Berry联络。对于给定的$q(k,r)$，本征函数可以显式的构造为
|u^\alpha_\epsilon(k,r)\rangle_N=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
|n^\alpha\rangle\\
\epsilon q^\dagger(k,r)|n^\alpha\rangle
\end{pmatrix},\quad \epsilon=\pm在这个构造里，$Q$矩阵是对角的，对角元分别是$1,-1$. $|n^\alpha\rangle$是$N$个正交无关向量。为了简单，我们选择$(^\alpha)_\beta=\delta_{\alpha\beta}$. 这些波函数没有任何奇异性，也就是说，我们明确地证明了整体的构造本征波函数没有障碍。Berry联络为
\begin{split}
A_N&=\langle u_\epsilon^\alpha|\mathrm{d}u_\epsilon^\alpha\rangle\\
&=\frac{1}{2}\left[\langle n^\alpha|\mathrm{d}n^\alpha\rangle+\langle q^\dagger n^\alpha|\mathrm{d}q^\dagger n^\alpha\rangle+\langle q^\dagger n^\alpha|q^\dagger \mathrm{d}n^\alpha\rangle\right]\\
&=\langle n^\alpha|\mathrm{d}n^\alpha\rangle+\frac{1}{2}\langle n^\alpha|q\mathrm{d}q^\dagger|n^\alpha\rangle=\frac{1}{2}q\mathrm{d}q^\dagger
\end{split}在这个规范下，CS形式$\mathcal{Q}_{2n+1}$是缠绕数的一半，$\mathcal{Q}_{2n+1}(A_N)=\omega_{2n+1}[q^\dagger]/2$. 我们可以得到$CS_{2n+1}[A_N]=\nu_{2n+1}[q^\dagger]/2$
W_{2n+1}=\exp(\pi i\nu_{2n+1}[q])=\pm 1也就是说，对于具有手征对称的哈密顿$W_{2n+1}$仅仅能取两个值$W_{2n+1}=\pm 1$
当$(d,D)=(1,0)$时，CS不变量$W_1$是定义在$BZ^d\simeq S^1$上的$U(1)$Wilson圈。$W_1$的对数表示电子极化，可以被手征对称性和反演对称性量子化。在这种情况下，$CS_1[A]$， \eqref{CS integer}的非不变性与这样一个事实有关:在周期系统中，电子坐标的位移只在一个单元内有意义，也就是说，两个坐标相差晶格常数的整数倍，应该是恒等的。
当$(d,D)=(3,0)$时，$CS_3$表示量子化的电磁极化率或者$\theta$角。$\theta$角，用Chern-Simons积分表示为
\theta=2\pi\int_{BZ}\mathcal{Q}_3(k)\mod{2\pi}
通过轴项$\delta S=(\frac{\theta\alpha}{4\pi})\int\mathrm{d}^3r\mathrm{d}t\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$出现在电动力学的有效作用中，其中$\alpha$是精细结构常数。量化的磁电极化率首先是在三维TR对称拓扑绝缘体$Class AII$的背景下被注意到的。除了TRS，手征对称和反演对称也能量子化CS不变量量$W_3$