Fu-Kane不变量适用于非手征对称类的第二代$Z_2$，由
FK_n=\frac{1}{n!}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n\int_{BZ_{1/2}^d\times\mathcal{M}^D}Tr(\mathcal{F}^n)-\oint_{\partial BZ^d\times\mathcal{M}^D}\mathcal{Q}_{2n-1}
定义，其中$n=(d+D)/2$. 它涉及到半布里渊区$BZ^d_{1/2}$上的Berry曲率的开积分，其中一个动量参数，比如$k_1$，跑遍$[0,\pi]$使得$BZ_{1/2}^d$的补空间是它的时间反演共轭。$BZ_{1/2}^d$上的CS积分，即$k_1=0,\pi$处的一半BZ的边界是规范相关的，在选择基时需要特别注意。对于时间反演系统(Class AI、Class AII)，构造Berry联络$\mathcal{A}^{\alpha\beta}$的占据态$|u^\alpha(k,r)\rangle$需要满足规范条件
w^{\alpha\beta}(k,r)=\langle u^\alpha(-k,r)|Tu^\beta(k,r)\rangle=const
对于$(k,r)\in\partial BZ_{1/2}^d\times \mathcal{M}^D$. 例如，描述2维Class AII拓扑绝缘体的原始FK不变量要求$w(k,r)=i\sigma_2$。对于PHS系统(Class D和C)，占据态$|u^\alpha(k,r)\rangle$通过PH算符$C$生成非占据态$|v^\alpha(k,r)\rangle$. FK不变量的CS形式需要从占据态满足下列条件构造
\int_{\partial BZ_{1/2}^d\times\mathcal{M}^D}Tr[(XdX^\dagger)^{d+D-1}]=0
其中$X(k,r)=(u^1,\cdots,u^N,v^1,\cdots,v^N)$是由本征态构造的幺正矩阵。规范约束条件\eqref{gauge condition}和\eqref{occupied state}对于方程\eqref{sedFK}中的FK不变量是必须的。没有它们，CS积分可以通过占据态一个大的规范变换$|u^\alpha\rangle\rightarrow g_{\alpha\beta}|u^\beta\rangle$改变任意整数。规范条件约束了这样的变换使得CS项仅仅只能改变偶数。FK不变量因此取$\mathbb{Z}_2=\{0,1\}$
2维Class AII
二维时间反演对称拓扑绝缘体的拓扑不变量是FK不变量。正如在三维时间反演对称拓扑绝缘体的情况一样，$\mathbb{Z}_2$不变量表达式可以为
W=\prod_{k}\frac{\mathrm{Pf}[w(K)]}{\sqrt{\det w(K)}}
其中$K$跑遍所有二维时间反演不变点。这个拓扑不变量可以被写成不同形式。例如可以被时间反演不变极化来引入，这可以在动量空间中被写成$SU(2)$Wilson loop.