对于奇序列，拓扑相或拓扑缺陷是由整Chern陈数来表征，对于第一或第二代拓扑相则是由$Z_2$拓扑不变量来表征。为了在一个统一的框架里讨论这些$Z_2$指标，我们采用两个策略：首先，我们从CS不变量出发，利用对称条件限制其可能值，构造各种$Z_2$拓扑不变量。其次，利用陈数和CS积分构造$Z_2$不变量。
第一代$Z_2$拓扑是由CS整数来表征
CS_{2n-1}=\int_{BZ\times\mathcal{M}^D}\mathcal{Q}_{2n-1}\in\frac{1}{2}\mathbb{Z}
其中$2n-1=d+D$. CS不变量只定义了一个整数。注意在反幺正对称下，CS不变量通常可以取半整数值。当$CS_{2n−1}$为整数时，$Z_2$拓扑是平凡的；当$CS_{2n−1}$为半整数时，$Z_2$拓扑是非平凡的。
计算一般缺陷哈密顿量的CS积分时有一个微妙之处：它们需要一组在底流形上整体定义的占据态，这对于定义Chern数和缠绕数是不必要的。这种整体连续基可能存在拓扑障碍。特别是，当存在具有非零Chern不变量的非平凡弱拓扑时，整体的价标架不存在。在这种情况下，我们需要引入人造哈密顿$H(k,r)\rightarrow H(k,r)\oplus H_0(k,r_0)$去抵消弱拓扑同时不影响最高维强拓扑。这个可以被一个低维哈密顿$H_0(k,r_0)$来实现，其中$r_0$在一些恰当循环里$\mathcal{N}^{D’}\in\mathcal{M}^D$，不包围在考虑的缺陷。
一维Class D
一维Class D的BdG哈密顿满足$C^{-1}H(-k)C=-H(k),C=\tau_1\mathcal{K}$，其中$k\in(-\pi,\pi]$是一维动量空间。ClassD的一维拓扑超导由CS积分表征。当有手征对称性时，PHS量子化$W=\exp(2\pi iCS[A])$为$\pm 1$。为了看到这点，我们回想起如果$|u_-^\alpha(k)\rangle$是负能解，能量为$-\varepsilon(k)$，那么$|\tau_1u^{*\alpha}_-(-k)\rangle$是正能解，能量为$\varepsilon(k)$. 负能和正能的Berry联络的关系为
A_-^{\alpha\beta}(k)=\langle u_-^\alpha(k)|\partial_k u_-^\beta(k)\rangle=\langle u_-^\alpha(k)|C^{-1}C\partial_k C^{-1}C|u_-^\beta(k)\rangle=\langle \tau_1u_-^{\alpha*}(k)|\partial_k|\tau_1u_-^{\beta*}(k)\rangle=A_+^{\alpha\beta}(-k)
一维CS积分为
\begin{split}
\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}kTrA_-&=\int_{0}^\pi\mathrm{d}kTrA_-(k)+\int_{-\pi}^0\mathrm{d}kTrA_-(k)\\
&=\int_0^\pi\mathrm{d}kTrA_-(k)+\int_{0}^\pi\mathrm{d}kTrA_-(-k)\\
&=\int_0^\pi\mathrm{d}kTr[A_-(k)+A_+(k)]\\
&=\int_0^\pi\mathrm{d}ku_i^{a*}\partial_k u_i^{a}=\int_0^\pi\mathrm{d}kTr[U^\dagger\partial_kU]\\
&=\int_0^\pi\mathrm{d}kTr\partial_k\ln U=\int_0^\pi\mathrm{d}k\partial_k\ln\det U=\ln\det U(\pi)-\ln\det U(0)
\end{split}其中当$\alpha$跑遍所有能带的一半时(例如负能能带)，$a$跑遍所有的能带。这里我们引入一个幺正矩阵符号$U_i^a(k)=u_i^a(k)$. 所以我们有CS不变量
\begin{split}
\mathcal{Q}_1(A)&=\frac{i}{2\pi}\int_0^1\mathrm{d}tTr(\mathcal{A})=\frac{i}{2\pi}\mathcal{A}\\
CS_1[A]&=\int_{BZ}\mathcal{Q}_1(\mathcal{A})=\frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}kA_-(k)=\frac{i}{2\pi}\ln\frac{\det U(\pi)}{\det U(0)}\\
W&=e^{2\pi iCS_1[A]}=\frac{\det U(0)}{\det U(\pi)}
\end{split}在PH对称动量$k=0,\pi$处，幺正矩阵$U(k)$有特殊性质。这个利用马约拉纳基很容看到。通过马约拉纳基变换，我们得到马约拉纳表象的哈密顿$X(k)$。回想起在TRIM点有PHS关系$\tau_1H^*(k)\tau_1=-H(-k)=-H(k)$. 因此，$X(k=0,\pi)$是一个实斜对称阵，可以通过一个正交变换$O(k=0,\pi)$变换到正则形式。注意在其他动量点没有$\tau_1H^T(k)\tau_1=H(k)$，马约拉纳哈密顿就不是斜对称阵。
iX(k=0,\pi)=\Omega H(k=0,\pi)\Omega^\dagger,\quad\Omega=\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix},\quad X^T(k=0,\pi)=-X(k=0,\pi)X(k=0,\pi)=O^T(k=0,\pi)\Sigma O(k=0,\pi),\quad\Sigma=\begin{pmatrix}
0&\varepsilon_1\\
-\varepsilon_1&0\\
&&\ldots\\
&&&0&\varepsilon_N\\
&&&-\varepsilon_N&0
\end{pmatrix}我们知道$U_i^a=\{|u_i^a\rangle\}$,并且
HU_i^a=\varepsilon_i^a U_i^a\Rightarrow\Omega H\Omega^{-1}\Omega U_i^a=\varepsilon_i^a\Omega U_i^a\Rightarrow iX\Omega U_i^a=\varepsilon_i^a\Omega U_i^a\Rightarrow iO^T\Sigma O\Omega U_i^a=\varepsilon_i^a\Omega U_i^a\Rightarrow i\Sigma O\Omega U_i^a=\varepsilon_i^aO\Omega U_i^a
$\Sigma$的本征向量是不含$k$的，所以$O\Omega$把哈密顿基底组$\{|u_i^a(k)\rangle\}$变成一组不含$k$的基底组，所以
W=\frac{\det O(0)}{\det O(\pi)}
由于$O(k=0,\pi)$是正交矩阵，他们的行列式是$\pm 1$，所以CS不变量$W=\pm 1$. 由于$2n$维斜方阵的Pfaffian为
Pf(X)=\frac{1}{2^n n!}\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{|\sigma|}X_{\sigma(1)\sigma(2)}\cdots X_{\sigma(2n-1),\sigma(2n)}
$\sigma$是$1,\cdots,2n$的全排列，我们注意到
Pf(OXO^T)=Pf(X)\det(O),\quad\mathrm{sgn}(Pf(X(k))\det(O(k)))=\mathrm{sgn}(Pf(OXO^T))=1
W=\frac{\det O(0)}{\det O(\pi)}=\frac{Pf(\Sigma(0))}{Pf(X(0))}\frac{Pf(X(\pi))}{Pf(\Sigma(\pi))}=\mathrm{sgn}(Pf[X(0)]Pf[X(\pi)])
很显然，这是规范不变的，与选择的底流形上的基函数无关。
Class D的Kitaev链
Kitaev提出的一维拓扑超导激发了许多关于Majorana物理的研究。在一些最近的实验中观察到一维链中存在马约拉纳模的证据。Kitaev链的哈密顿为
H=\frac{t}{2}\sum_{i}(c_i^\dagger c_{i+1}+c_{i+1}^\dagger c_i)-\mu\sum_{i}(c_i^\dagger c_i-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}\sum_{i}(\Delta^*c_i^\dagger c_{i+1}^\dagger-\Delta c_ic_{i+1})
不失一般性，$\Delta$可以取实数，因为整体序参量有一个$U(1)$规范，$\Delta=e^{i\theta}\Delta_0$. 在动量空间
\hat{H}=\frac{1}{2}\sum_{k}\begin{pmatrix}
c_k^\dagger&c_{-k}
\end{pmatrix}H(k)\begin{pmatrix}
c_k\\
c_{-k}^\dagger
\end{pmatrix},\quad H(k)=(t\cos k-\mu)\tau_3-\Delta_0\sin k\tau_2
对于$|t|>\mu$和$|t|<\mu$有被相变点$t=\pm\mu$隔开的能隙相。Kitaev链可以根据Majorana基写成
\lambda_j=c_j^\dagger+c_j,\quad \lambda_j'=i(c_j-c_j^\dagger),\quad\Lambda=\begin{pmatrix}
\lambda_j\\
\lambda_j'
\end{pmatrix}=\Omega\Psi,\quad \Omega=\begin{pmatrix}
1&1\\
i&-i
\end{pmatrix}上式进行傅里叶变换得到
\lambda_k=c_{-k}^\dagger+c_k,\quad\lambda'_k=i(c_k-c_{-k}^\dagger)
\Lambda(k)=\begin{pmatrix}
\lambda_k\\
\lambda_k'
\end{pmatrix},\quad\Lambda^\dagger(k)=\begin{pmatrix}
\lambda_k^\dagger&\lambda_{k}'^\dagger
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
\lambda_{-k}&\lambda_{-k}'
\end{pmatrix}=\lambda^T(-k)所以在马约拉纳表象下哈密顿为
\hat{H}=\frac{i}{2}\sum_{k}\Lambda^\dagger(k)X(k)\Lambda(-k)
iX(k)=\Omega^{-1}H(k)\Omega=(t\cos k-\mu)\tau_2-\Delta_0\sin k\tau_1
所以CS不变量为
W=\mathrm{sgn}(Pf[X(0)]Pf[X(\pi)])=\mathrm{sgn}(\mu^2-t^2)
与SSH模型相似，我们也通过改变$\mu$作为空间的函数来考虑domian wall，它捕获了局域零能马约拉纳模。
三维Class AII
我们现在讨论三维时间反演不变的拓扑性质。这些带式绝缘体的拓扑特性与TRS下哈密顿量的不变性密切相关$T^{-1}H(k)T=H(-k)$。由于这个关系，布洛赫波函数在$k$点与$-k$点是联系的。如果$|u^\alpha(k)\rangle$是$k$处的本征态，则$T|u^\alpha(k)\rangle$是$-k$的本征态。假设我们现在可以在BZ全空间上定义光滑的$|u^a(k)\rangle$.（这是可能的，因为时间反演不变性导致Chern数为$0$，没有拓扑障碍）我们比较$|u^\alpha(-k)\rangle$和$T|u^\alpha(k)\rangle$。 因为$|u^\alpha(-k)\rangle$和$T|u^a(k)\rangle$是同一个哈密顿$H(-k)$的本征态，他们之间一定由一个幺正矩阵联系起来
|u^\alpha(-k)\rangle=[w^{\alpha\beta}(k)]^*|Tu^\beta(k)\rangle
$w$上的复共轭符合共同的约定。因此斜矩阵
w^{\alpha\beta}(k)=\langle u^\alpha(-k)|Tu^\beta(k)\rangle
由动量为$-k$的占据态与动量为$k$的占据的时间反演之间的交叠给出，在定义$Z_2$指数时起着重要作用。矩阵元服从
w^{\alpha\beta}(-k)=\langle u^a(k)|T u^\beta(-k)\rangle=\langle T^2 u^\beta(-k)|Tu^a(k)\rangle=-w^{\beta\alpha}(k)
所以在$k$和$-k$之间Berry联络有关系
\begin{split}
A_\mu^{\alpha\beta}(-k)&=\langle u^\alpha(-k)|\partial_\mu|u^\beta(-k)\rangle\\
&=\langle T u^{\alpha'}(k)|w^{\alpha'\alpha}(k)\partial_\mu\left([w^{\beta\beta'}(k)]^*|Tu^{\beta'}(k)\rangle\right)\\
&=\langle u^{\beta'}(k)|[w^{\alpha'\alpha}(k)]^*\partial_\mu w^{\beta\beta'}(k)|u^{\alpha'}(k)\rangle\\
&=[w^{\alpha'\alpha}(k)]^*\partial_\mu w^{\beta\beta'}(k)\delta^{\beta'\alpha'}+\langle u^{\beta'}(k)|[w^{\alpha'\alpha}(k)]^*w^{\beta\beta'}(k)\partial_\mu|u^{\alpha'}(k)\rangle\\
&=-w(k)\partial_\mu w^\dagger(k)-w(k)A_\mu^*(k)w^\dagger(k)
\end{split}也就是$-A_\mu(-k)$和$A^*_\mu(k)=-A^T_\mu(k)$通过规范变换相互联系。
有了对Berry联络的这个约束，我们现在证明CS不变量是由斜矩阵的缠绕数$\omega[w]$给出的
上式的规范变换我们可以写成
-A_\mu(-k)=[A_\mu^{g^*}]^*,\quad g=w^\dagger我们把CS积分变量做一个替换$k\rightarrow -k$
CS[A(k)]=CS[A(-k)]=-CS[(A^{g^*})^*]=-(CS[A^{g^*}])^*=-CS[A^{g^*}]
我们知道在规范变换$g$下，CS积分核有关系
\mathcal{Q}_{2n+1}(A^g)-\mathcal{Q}_{2n+1}(A)=\omega_{2n+1}[g]+\mathrm{d}\alpha_{2n+1}(A,g)
所以在上述规范变换下
CS[A^{g^*}]-CS[A]=\int_{BZ}\{\omega[g^*]+\mathrm{d}\alpha(A,g^*)\}\Rightarrow CS[A]=-\frac{1}{2}\int_{BZ}\{\omega[g^*]+\mathrm{d}\alpha(A,g^*)\}
所以$CS[A]=\frac{\mathbb{Z}}{2}$. 在BZ的TRIM点$K$处，规范矩阵$w$的Pfaffian也可以将CS不变量写成
W=\prod_{K}\frac{Pf[w(K)]}{\sqrt{\det[w(K)]}}