在本节中，我们推导了能隙拓扑相和拓扑缺陷的分类，总结在表I中。拓扑分类可以由分类空间的同伦群或者K理论展示。我们也展示了Clifford代数在证明对称允许狄拉克质量项的分类空间中的应用。该方法利用了K理论与Clifford代数之间的已知联系，有效地将拓扑问题转化为代数问题;利用Clifford代数证明了K理论的Bott周期性。K理论的Bott周期律由Clifford代数证明。对于K理论、克利福德代数和博特周期性的更完整和精确的描述，可以参考数学和物理方面的文献。
狄拉克质量隙的同伦分类
我们已经看到，许多拓扑上的非平凡相(以及平凡相)都有一个有质量的狄拉克哈密顿量表示。人们可能更关注于狄拉克表示的分类。有人可能会认为这是一个粗略的近似，但事实证明，通过这种方式缩小自己所关注的不会失去太多。因此，我们考虑了Bloch-BdG哈密顿在相关动量点$K_0$附近的低能量描述，它一般采用Dirac形式
H(k,r)=k\cdot\Gamma+m\Gamma_0(r)
其中$k=(k1,\cdots,k_d)$是距离动量点$K_0$的差值并且$\Gamma=(\Gamma_1,\cdots,\Gamma_d)$是狄拉克矩阵，满足Clifford关系$\{\Gamma_\mu,\Gamma_\nu\}=2\delta_{\mu\nu},(\mu,\nu=0,\cdots,d)$. 质量项$m\Gamma_0$依赖于一个$D$维空间参数$r$，它与所有动能项上的狄拉克矩阵是反对易的，并造成了一个体隙。对于一个稳定的分类，它是独立且对无关平凡带的添加不敏感，狄拉克矩阵的维数(带的数目)是足够大的，$\ln[dim(\Gamma_0)]\ll d+D$，其动机稍后将变得清晰。在存在对称的情况下，狄拉克矩阵满足
T\Gamma_0(r)T^{-1}=\Gamma_0(r),\quad T\Gamma T^{-1}=-\Gamma
C\Gamma_0(r)C^{-1}=-\Gamma_0(r),\quad C\Gamma C^{-1}=\Gamma
S\Gamma_0(r)S^{-1}=-\Gamma_0(r),\quad S\Gamma S^{-1}=-\Gamma
对于一般的TI或TSC，质量项$mΓ_0$存在于某个参数空间$\mathcal{R}$中，该空间与某个分类空间具有相同的拓扑(或伦型)，证明很简短。假设我们在两个体区域$A,B$之间有一个domain wall. 例如，二维系统里分离Chern绝缘体和普通绝缘体的domain wall可以在拓扑上捕获，其中质量项在界面上改变其符号。现在在$A,B$上分别选取两个任意点$r_A,r_B$. 如果在$\mathcal{R}$中不存在任何连接$m\Gamma(r_A)$和$m\Gamma(r_B)$的连续的路径，Domain wall 承载一个拓扑保护的表面模式。这个拓扑因此由$\pi_0(\mathcal{R})=[S^0,\mathcal{R}]$来表征，$\mathcal{R}$的$0$阶同伦群计算了连通片数。
对于除domain wall之外的一般拓扑缺陷，我们首先用狄拉克哈密顿量来近似缺陷哈密顿量，其中$r$现在是在时空中围绕缺陷的调制参数。在这种情况下，我们感兴趣的是最高维的强拓扑，其中$r$存在于(或变形收缩到)紧化球体$S^D$上。
对于不同的对称类$s$和体维数$d$，质量项$m\Gamma_0$属于不同的类空间$\mathcal{R}_{s-d}$. 正如我们将要看到的，类空间是由对称性\eqref{k,t}决定的。现在让我们用几个例子来演示这一点。
d=2,d=1中的Class A
作为第一个例子，我们确定了Class A中与2D Chern绝缘体相关的分类空间。为此，我们首先回顾一下由\eqref{lattice model}给出的格点模型。在$K_0=0$附近线性化，我们得到$d=2$有质量狄拉克模型$H(k)=k_x\sigma_1+k_y\sigma_2+m\sigma_3$. 对于$m>0$和$m<0$有两个可分辨相，它的Chern数相差$1$. 为了讨论更一般的Chern数值，我们把哈密顿矩阵维数增大到$2N\times 2N$为狄拉克哈密顿
H(k,r)=k_x\sigma_x\otimes\mathbf{1}_N+k_y\sigma_2\otimes\mathbf{1}_N+M
因为质量项与动能项反对易，$M$应该有$\sigma_3\otimes A$的形式，其中$A$是$N\times N$的厄密矩阵。通过考虑$A=diag(m1,\cdots,m_N)$, $m_i\neq 0$，我们可以实现相对Chern数不同值的带绝缘体。这些只是$N$个不同质量的狄拉克绝缘体的解耦复制。质量的大小并不影响Chern数，然而质量的符号$\mathrm{sgn}m_i$与Chern数有关。所以不失一般性，我们考虑$A=\Lambda_{n,N-n}$， 其中$\Lambda_{n,m}=diag(\mathbf{1}_n,-\mathbf{1}_m)$. 从$\Lambda_{n,N-n}$出发，更一般的质量矩阵可以由幺正矩阵$U$做变换$A=U\Lambda_{n,N-n}U^\dagger$生成。相反的，对于给定$A$，只要他的本征值是恰当归一的，我们总可以通过幺正矩阵$U$来对角化并且写出$A=U\Lambda_{n,N-n}U^\dagger$. 因此，$A$是$U(N)/[U(n)\times U(N-n)]$的群元素。两个有相同正则形式的质量$A_1$和$A_2$是相互幺正联系的，例如，$U(N)/[U(n)\times U(N-n)]$是简单连通的。然而两个有不同正则形式的$A_1$和$A_2$没有幺正联系。总结来说，对于给定$N$，质量的集合是$U(N)/[U(n)\times U(N-n)]$
到目前为止，我们已经固定$N$,但这对于实现狄拉克表示所有可能的相是显然不够的，因为对于给定$N$，Chern数最大可以为$N$,而$d=2$ Class A的绝缘体可以被任意整Chern数来表征。为了实现任意Chern数的绝缘体，我们把$N$取得尽可能大，这让我们认为
\mathcal{C}_0=\bigcup_{n=0}^{N}\frac{U(N)}{U(n)\times U(N-n)}\stackrel{N\rightarrow\infty}{\longrightarrow} BU\times \mathbb{Z}
该空间的不连通分量$\pi_0(\mathcal{C}_0)$是拓扑质量不同的空间，已知为$\pi_0(\mathcal{C}_0)=\mathbb{Z}$。这与Class A在$d=2$的分类一致。
这里介绍一下Bott周期定理:
令$U=U(\infty)$无穷维$U$群。则$U$的同伦群$\pi_i(U)$关于$i$是$2$周期的
\begin{cases}
\pi_{2k-1}(U)\simeq\pi_{2k+1}(U)=\mathbb{Z}\\
\pi_{2k}\simeq \pi_{2k+2}(U)=0
\end{cases}\quad \forall k=1,2,\cdots上面这个定理是由Bott同构定理支撑的
复Grassmannian $G_m(\mathbb{C}^{2m})$与$SU(2m)$之间具有如下关系：
- $SU(2m)$上连接单位矩阵$I$与$-I$的所有最小测地线构成空间 $BSU(2m)=\{\gamma:[0,1]\rightarrow SU(2m)|\gamma\text{是连接$I$与$-I$的最小测地线}\}$与$G_m(\mathbb{C}^{2m})$同构，$BSU(2m)\simeq G_m(\mathbb{C}^{2m})$
- $SU(2m)$上连接$I$与$-I$的道路空间$\Omega SU(2m,I,-I)$中每一个非最小测地线$\gamma$的指标$Ind(\gamma)\geq 2m+2$
- $BSU(2m)$到$\Omega SU(2m)$的包含映射诱导出同构
\pi_i(G_m(\mathbb{C}^{2m}))\simeq \pi_i(\Omega SU(2m,I,-I)),\quad \forall i\leq 2m
利用道路纤维化同伦序列可以得到
\pi_i(G_m(\mathbb{C}^{2mn}))\simeq \pi_{i+1}(SU(2m)),\quad \forall i\leq 2m
事实上，我们取无限个能带的极限，可以通过添加任意多的轨道来实现，这是K理论的一个重要组成部分。一般来说，平凡原子带的加入不会影响间隙相的非平凡拓扑性质。因此，人们一般对不包含平凡带的拓扑性质是稳定的感兴趣。然而，只有当带的数目限制为某个特定的整数时，间隙相的拓扑区别才会存在。例如，我们知道在具有任意带数的三维空间中不存在非平凡Class A拓扑绝缘体。然而，如果我们把自己限制在二带模型中，非平凡拓扑的存在是由非平凡同伦群$\pi_3(\mathbb{C}P^1)=\mathbb{Z}$所支持的，它对平凡带的添加是不稳定的。通过取无穷多个带的极限，我们消除了以下这种不稳定或偶然的拓扑，即，我们感兴趣的是有间隙的非相互作用系统基态的稳定等价性。
$\mathbb{C}P^1$对于$U(2)$是齐性流形，$U(1)$是迷向子群，所以有$\mathbb{C}P^1\simeq U(2)/U(1)$
对可能的质量进行分类的问题可以用另一种方法表述如下。首先，狄拉克动力学项(没有质量的部分)由伽玛矩阵组成，形成Clifford代数。一般来说，一个复Clifford代数$Cl_n$是由一组生成元$\{e_i\}_{i=1,\cdots,n}$，它们满足：
\{e_i,e_j\}=2\delta_{ij}复的意思是指它们可以用复矩阵来表示。(更正式的来说，我们感兴趣的是一个$2^n$维复向量空间$\{C_{p_1p_2\cdots}e_1^{P_1}e_2^{p_2}\cdots\}$，其中$p_i=0,1$，$C_{p_1p_2\cdots}$是复数。)对于存在二维$Class A$的例子，动能项狄拉克矩阵满足$\{\sigma_i,\sigma_j\}=2\delta_{ij}(i,j=1,2)$，它们构成$Cl_2$. 质量应该与动能项里所有的狄拉克矩阵反对易$\{\sigma_i,M\}=0$，算上质量，我们现在有$Cl_3$. 当考虑质量，我们通过添加一个生成元(质量)把代数从$Cl_2$扩张到$Cl_3$. 计算代数扩张的不同方法只不过是计算不等价幺正质量。
在一般情况下，我们首先考虑一组对称算子(和狄拉克动能项)。它们被表示为Clifford代数的生成元。然后我们考虑，除了这些生成元，还可能的质量项，这反过来扩张了Clifford代数。也就是说，对于对称生成元的固定表示，我们需要寻找新的附加生成元($=$质量)的可能表示矩阵。这些表示的集合形成了一个分类空间。拓扑上不同的状态对应于不同的代数扩张。
再举一个例子，我们考虑一维Class A以及他们对于给定$H(k)=k_x\sigma_3\otimes\mathbf{1}_{N}+M$. 如之前，质量必须与狄拉克动能项反对易$\{\sigma_3,M\}=0$. 一般的解为
M=\begin{pmatrix}
0&U^\dagger\\
U&0
\end{pmatrix},\quad U\in U(N)对于固定的$N$，$\pi_0(U(N))=0$，所有的质量都可以相互的连续形变。也就是说没有拓扑可分辨的相。和前面一样，这个问题可以表述为一个扩张问题$Cl_1\rightarrow Cl_2$. 扩张分类空间为
\mathcal{C}_1=U(N)同伦群为$\pi_0(\mathcal{C}_1)=0$.
这个解析可以在任意维数$d$重复。考虑扩张$Cl_d\rightarrow Cl_{d+1}$. 我们寻找$\pi_0(\mathcal{C}_d)$，表示对应的分类空间$\mathcal{C}_d$。由于$Cl_{n+2}\simeq Cl_n\otimes \mathbb{C}(2)$, 其中$\mathbb{C}(2)$是$2\times 2$复矩阵的代数空间，我们有分类空间的性质
\mathcal{C}_{n+2}\simeq\mathcal{C}_n
由此得出Class A拓扑分类的二重周期性。
Class AIII
可以看出，给定对称类的拓扑分类问题的维数周期性直接来源于Clifford代数。类似地，由于增加了一个对称而引起的分类中的维数变化，也可以用Clifford代数来理解。举个例子，让我们考虑对称Class AIII中的零维系统，它的质量(即哈密顿量本身)$H$满足手性对称关系$\{H,U_S\}=0$. 幺正矩阵$U_S$，就像狄拉克动动能项中的$\Gamma$矩阵，可以被认为是Clifford生成元。通过适当的归一化(谱扁平化)，零维哈密顿量H具有特征值$\pm 1$，可以认为是一个附加的Clifford生成元。我们考虑一个扩张问题$Cl_1\rightarrow Cl_2$，它的分类空间是$\mathcal{C}_1$并且$\pi_0(\mathcal{C}_1)=0$. 这样，对称性的存在可以被看成添加了一个合适数量的Clifford生成元，并且从效果上来看与添加空间维度一样。
d=0,1,2的Class D
到目前为止，我们讨论了用复Clifford代数来分类Class A和Class AIII的狄拉克质量。实Clifford代数与狄拉克质量在八个实对称类中的分类有关，正如我们现在所说明的。
例如我们从$0$维的$Class D$出发，考虑哈密顿$H(r)=m\Gamma_0(r)$, 它与$C=\mathcal{K}$反对易。
\{H(r),C\}=0\Rightarrow m(\Gamma_0(r)+\Gamma_0^*(r))\mathcal{K}=0\Rightarrow \Gamma_0(r)=-\Gamma_0^*(r)
令$u_1,\cdots,u_N$是$\Gamma_0$正本征向量。由于$PHS$，$u_1^*,\cdots,u_N^*$是对应的负本征向量。
\Gamma_0(r)\rightarrow u_1,\cdots,u_N
\Gamma_0(r)u_j=u_j\Rightarrow C\Gamma_0(r) u_j=Cu_j\Rightarrow C\Gamma_0(r)C^{-1}Cu_j=Cu_j\Rightarrow \Gamma_0^*(r)u_j^*=u^*_j
\Gamma_0(r)u_j^*=-u_j^*
令$a_j,b_j$分别是$u_j$的实部和虚部，$u_j=\frac{1}{\sqrt{2}}(a_j+ib_j)$. 正交关系为
\begin{cases}
u_i^\dagger u_j=\delta_{ij}\\
u_i^T u_j=0
\end{cases}可以得到$a_i^T a_j=b_i^Tb_j=\delta_{ij},a_i^Tb_j=0$. 这样我们有一个$O(2N)$矩阵$A=(a_1,\cdots,a_N,b_1,\cdots,b_N)$. 注意到由于$U(N)$基变换$u_j\rightarrow u_j’=U_{jk}u_k$，相同的$\Gamma_0$可以对应于不同的正交矩阵$A$. 因此$d=0$中的$Class D$质量项$\Gamma_0$存在于分类空间
\mathcal{R}_2=O(2N)/U(N)在一维情况，我们考虑
H(k,r)=k\Gamma_1+m\Gamma_0(r)
通过选择合适的基底，我们可以假设$PH$算符有$C=\mathcal{K}$形式，以及$\Gamma_1=\tau_3\otimes \mathbf{1}_N$. 根据\eqref{k,t}可以得到对称算符与$\Gamma$矩阵之间的关系为
\{C,\Gamma_0(r)\}=0,\quad \{\Gamma_1,\Gamma_0(r)\}=0,\quad [C,\Gamma_1]=0
所以我们有
\{\Gamma_1,\Gamma_0\}\Rightarrow \Gamma_0=\tau_2\otimes\gamma_1+\tau_1\otimes i\gamma_2
\{C,\Gamma_0\}=0\Rightarrow \Gamma_0+\Gamma_0^*=0\Rightarrow \gamma_1=\gamma_1^*,\gamma_2=\gamma_2^*
所以$\gamma_1$和$\gamma_2$是实矩阵。再根据$\Gamma_0=\Gamma_0^\dagger$我们得到
\Gamma_0^\dagger=\tau_2\otimes\gamma_1^T-\tau_1\otimes i\gamma_2^T=\tau_2\otimes\gamma_1+\tau_1\otimes i\gamma_2
我们有
\gamma_1=\gamma_1^T,\quad \gamma_2=-\gamma_2^T
所以，质量项是$\Gamma_0(r)=\tau_2\otimes \gamma_1(r)+\tau_1\otimes i\gamma_2(r)$, 其中$\gamma_1,\gamma_2$是$N\times N$的$\gamma$矩阵实对称和反对称分量。归一化条件$\Gamma_0^2=1$
\begin{split}
\Gamma_0^2&=(\tau_2\otimes\gamma_1+\tau_1\otimes i\gamma_2)(\tau_2\otimes\gamma_1+\tau_1\otimes i\gamma_2)=1\\
&=1\otimes(\gamma_1^2-\gamma_2^2)+\tau_3\otimes \gamma_1\gamma_2-\tau_3\otimes\gamma_2\gamma_1\\
&=\begin{pmatrix}
\gamma_1^2-\gamma_2^2+\gamma_1\gamma_2-\gamma_2\gamma_1&\\
&\gamma_1^2-\gamma_2^2-\gamma_1\gamma_2+\gamma_2\gamma_1
\end{pmatrix}=1
\end{split}所以有
\begin{split}
(\gamma_1-\gamma_2)(\gamma_1+\gamma_2)=1\\
(\gamma_1+\gamma_2)(\gamma_1-\gamma_2)=1
\end{split}意味着$\gamma$必须是正交的。这样1维Class D质量项属于分类空间
\mathcal{R}_1=O(N)最后我们讨论二维的情况，其中
H(k,r)=k_1\Gamma_1+k_2\Gamma_2+m\Gamma_0
我们选择的基底使得$C=\mathcal{K},\Gamma_1=\tau_1\otimes \mathbf{1}_N$以及$\Gamma_2=\tau_3\otimes \mathbf{1}_N$. 质量项必须有形式$\Gamma_0(r)=\tau_2\otimes \gamma(r)$
利用$C$与$\Gamma_0$的反对易关系，可以得到
C\Gamma_0(r)C^{-1}=-\Gamma_0(r)\Rightarrow -\gamma_2\otimes \gamma^*(r)=-\gamma_2\otimes \gamma(r)
得到$\gamma$矩阵是一个实矩阵，同样的操作，利用$\Gamma_0=\Gamma_0^\dagger$可以得到
\gamma(r)=\gamma^T(r)
所以$\gamma$是一个实对称阵。并且$\gamma^2=1$($\Gamma_0^2=1$). 这意味着$\gamma$矩阵的本征值为$\pm 1$. 我们可以通过正交矩阵$O=(a_1,\cdots,a_n,a_{n+1},\cdots,a_N)\in O(N)$把$\gamma$矩阵对角化，其中前$n$个矢量对应$\gamma$的正本征矢量，其余的矢量对应于负本征矢量。我们看到由于$O(n)\times O(N-n)$基变换不会混合正负本征矢量相同，$\gamma$可以对应于不同的正交矩阵。这样Class D质量项在二维情况下属于分类空间
R_0=\bigcup_{n=1}^{N}\frac{O(N)}{O(n)\times O(N-n)}\stackrel{N\to\infty}{\longrightarrow} BO\times \mathbb{Z}
实Clifford代数扩张
和复对称类一样，相关的分类空间可以通过扩张问题来定义。类似于复Clifford代数，实Clifford代数$Cl_{p,q}$是由集合$\{e_i\}$生成的，其中满足
\begin{split}
\{e_i,e_j\}&=0,i\neq j\\
e_i^2&=\begin{cases}
-1\quad 1\leq i\leq p\\
+1\quad p+1\leq i\leq p+q
\end{cases}
\end{split}实的意思是我们感兴趣的是这些生成元的实表示矩阵。对于实对称类，我们先考虑$d=0$的情况。TRS与PHS和$H$之间的关系如下
THT^{-1}=H,\quad CHC^{-1}=-H$T,C$是反幺正算符。这些关系不会被$H$的平带化所影响
H^2=\Gamma_0^2=1
不失一般性，我们假设
[T,C]=0
并且有
T^2=\epsilon_T,\quad C^2=\epsilon_C
其中$\epsilon_T,\epsilon_C$要么是$1$要么是$-1$. 因为$T,C$包含了复共轭算符$\mathcal{K}$，我们引入复数单元算符$J$表示$i$使得我们可以把复代数结构在实Clifford代数里处理。这样我们引入算符$J$满足
J^2=-1,\quad \{T,J\}=\{C,J\}=\{\Gamma_0,J\}=0
和$i$的形式一模一样
上述方程可以用来定义实Clifford代数$Cl_{p,q}$. 根据PHS和TRS的出现，对于实Clifford代数在每一个拓扑类里，我们有不同的生成元集合
- 只有TRS的情况，Class AI和Class AII。我们取
e_0=J\Gamma_0,\quad e_1=T,\quad e_2=TJ
满足$\{e_i,e_j\}=2\delta_{ij}$，其中
e_0^2=-1,\quad e_1^2=\epsilon_T,\quad e_2^2=\epsilon_T
质量项代数扩张为$\{e_1,e_2\}\rightarrow \{e_0,e_1,e_2\}$
\begin{split}
&Cl_{0,2}\rightarrow Cl_{1,2}\quad Class AI\\
&Cl_{2,0}\rightarrow Cl_{3,0}\quad Class AII
\end{split}- 只有PHS的情况，Class C和Class D。我们取
e_0=\Gamma_0,\quad e_1=C,\quad e_2=CJ
满足$\{e_i,e_j\}=2\delta_{ij}$，其中
e_0^2=1,\quad e_1^2=\epsilon_C,\quad e_2^2=\epsilon_C
质量项代数扩张为$\{e_1,e_2\}\rightarrow \{e_0,e_1,e_2\}$
\begin{split}
&Cl_{2,0}\rightarrow Cl_{2,1}\quad Class C\\
&Cl_{0,2}\rightarrow Cl_{0,3}\quad Class D
\end{split}有TRS和PHS的情况，Class BDI、DIII、CII、CI。我们取
e_0=\Gamma_0,\quad e_1=C,\quad e_2=CJ,\quad e_3=TCJ
满足$\{e_i,e_j\}=2\delta_{ij}$，其中
e_0^2=1,\quad e_1^2=\epsilon_C,\quad e_2^2=\epsilon_C,\quad e_3^2=-\epsilon_T\epsilon_C
质量项代数扩张为$\{e_1,e_2,e_3\}\rightarrow\{e_0,e_1,e_2,e_3\}$
\begin{split}
&Cl_{1,2}\rightarrow Cl_{1,3}\quad Class BDI\\
&Cl_{0,3}\rightarrow Cl_{0,4}\quad Class DIII\\
&Cl_{3,0}\rightarrow Cl_{3,1}\quad Class CII\\
&Cl_{2,1}\rightarrow Cl_{2,2}\quad Class CI
\end{split}现在我们对于$e_0=\pm 1$讨论扩张分类空间
- 扩张$Cl_{p,q}\rightarrow Cl_{p,q+1}(e_0^2=1)$
扩张$Cl_{p,q}\rightarrow Cl_{p,q+1}$的分类空间记作$\mathcal{R}_{p,q}$. 由于Clifford代数有同构关系
Cl_{p+1,q+1}\simeq Cl_{p,q}\otimes Cl_{1,1}所以这种扩张对应的分类空间$\mathcal{R}_{p,q}$仅仅依赖于$q-p$
\mathcal{R}_{p,q}=\mathcal{R}_{q-p}
- 扩张$Cl_{p,q}\rightarrow Cl_{p+1,q}(e_0^2=-1)$. 由于Clifford代数的同构关系
Cl_{p,q}\otimes Cl_{0,2}\rightarrow Cl_{q,p+2}
这类扩张问题可以转化成第一类扩张问题
Cl_{p,q}\rightarrow Cl_{p+1,q}\Rightarrow Cl_{q,p+2}\rightarrow Cl_{q,p+3}
分类空间为$\mathcal{R}_{p+2-q}$
这里总结一下Clifford代数的同构关系，证明太简单无脑了，这里省略
Cl_{n,0}\otimes Cl_{0,2} \simeq Cl_{0,n+2} C l_{0, n} \otimes C l_{2,0} \simeq C l_{n+2,0}C l_{p,q} \otimes C l_{1,1} \simeq C l_{p+1, q+1}Cl_{p, q} \otimes Cl_{0,2} \simeq Cl_{q,p+2}Cl_{p,q} \otimes C l_{2,0} \simeq C l_{q+2, p}利用这些同构我们可以得到关系
Cl_{2,2}=Cl_{2,0} \otimes Cl_{2,0} \simeq \mathbb{H}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{H} \simeq Cl_{0,2} \otimes Cl_{0,2} \simeq \mathbb{R}(2) \otimes \mathbb{R}(2)=\mathbb{R}(4)
所以有周期关系
Cl_{p,q+4}\simeq Cl_{q+2,p}\otimes Cl_{0,2}\simeq Cl_{p,q}\otimes Cl_{2,0}\otimes Cl_{0,2}\simeq Cl_{p,q}\otimes Cl_{0,4}
Cl_{p,q+8}\simeq Cl_{p,q+4}\otimes Cl_{0,4}\simeq Cl_{p,q}\otimes Cl_{0,4}\otimes Cl_{0,4}\simeq Cl_{p,q}\otimes Cl_{0,8}
这里注意
Cl_{0,4}\otimes Cl_{0,4}=\simeq Cl_{2,0}\otimes Cl_{0,2}\otimes Cl_{2,0}\otimes Cl_{0,2}\simeq Cl_{0,4}\otimes Cl_{2,0}\otimes Cl_{0,2}\simeq Cl_{6,0}\otimes Cl_{0,2}\simeq Cl_{0,8}
由于上述同构关系，$Cl_{p,q}$的表示矩阵类型仅仅依赖于$p-q \mod 8$. 下表是实Clifford代数表示结构
| $q-p$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
| $Cl_{p,q}$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{C}$ | $\mathbb{H}$ | $\mathbb{H}\oplus\mathbb{H}$ | $\mathbb{H}$ | $\mathbb{C}$ | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ |
整个代数表示的维数为$d=2^{p+q}$. 为了方便，我们把$Cl_{n,0},Cl_{0,n}$以及复扩张$Cl_n^c\simeq Cl_n\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$的矩阵表示列成表格
| $n$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
| $Cl_{n,0}$ | $\mathbb{C}$ | $\mathbb{H}$ | $\mathbb{H}\oplus\mathbb{H}$ | $\mathbb{H}(2)$ | $\mathbb{C}(4)$ | $\mathbb{R}(8)$ | $\mathbb{R}(8)\oplus\mathbb{R}(8)$ | $\mathbb{R}(16)$ |
| $Cl_{0,n}$ | $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}(2)$ | $\mathbb{C}(2)$ | $\mathbb{H}(2)$ | $\mathbb{H}(2)\oplus\mathbb{H}(2)$ | $\mathbb{H}(4)$ | $\mathbb{C}(8)$ | $\mathbb{R}(16)$ |
| $Cl_n^c$ | $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$ | $\mathbb{C}(2)$ | $\mathbb{C}(2)\oplus\mathbb{C}(2)$ | $\mathbb{C}(4)$ | $\mathbb{C}(4)\oplus\mathbb{C}(4)$ | $\mathbb{C}(8)$ | $\mathbb{C}(8)\oplus\mathbb{C}(8)$ | $\mathbb{C}(16)$ |
总结一下$d=0$下Clifford代数扩张与对称分类的关系
| Class | $(\epsilon_T,\epsilon_T)$ | 扩张 | 分类空间 |
| $\mathrm{AI}$ | $(+,0)$ | $Cl_{0,2}\rightarrow Cl_{1,2}$ | $\mathcal{R}_{0}$ |
| $\mathrm{AII}$ | $(-,0)$ | $Cl_{2,0}\rightarrow Cl_{3,0}$ | $\mathcal{R}_{4}$ |
| $\mathrm{D}$ | $(0,+)$ | $Cl_{0,2} \rightarrow Cl_{0,3}$ | $\mathcal{R}_{2}$ |
| $\mathrm{C}$ | $(0,-)$ | $Cl_{2,0} \rightarrow Cl_{2,1}$ | $\mathcal{R}_{-2} \simeq \mathcal{R}_{6}$ |
| $\mathrm{BDI}$ | $(+,+)$ | $Cl_{1,2} \rightarrow Cl_{1,3}$ | $\mathcal{R}_{1}$ |
| $\mathrm{DIII}$ | $(-,+)$ | $Cl_{0,3} \rightarrow Cl_{0,4}$ | $\mathcal{R}_{3}$ |
| $\mathrm{CII}$ | $(-,-)$ | $Cl_{3,0} \rightarrow Cl_{3,1}$ | $\mathcal{R}_{-3} \simeq \mathcal{R}_{5}$ |
| $\mathrm{CI}$ & $(+,-)$ | $(+,-)$ | $Cl_{2,1} \rightarrow Cl_{2,2}$ | $\mathcal{R}_{-1} \simeq \mathcal{R}_{7}$ |
利用Clifford代数周期性，以及$Cl_{p+1,q+1}\simeq Cl_{p,q}\otimes Cl_{1,1}$. 我们可以把上表简化为
总结
可以为不同的对称类和维度重复这个过程。对于d维s对称复AZ对称类的分类空间是由$\mathcal{C}_{s-d}$给出，对于实AZ对称类由$\mathcal{R}_{s-d}$给出。质量项$m\Gamma_0(r)$的缠绕作为时空参数$r$缠绕在缺陷周围由同伦群分类$\pi_D(\mathcal{R}_{s-d})=[S^D,\mathcal{R}_{s-d}]$，这计算了当连续映射$m\Gamma:S^D\rightarrow \mathcal{R}_{s-d}$时，非奇异质量项的拓扑可分辨数。分类空间相互之间由环路关联起来，例如$\mathcal{R}_{p+1}\simeq\Omega\mathcal{R}_{p}=Map(S^1,\mathcal{R}_p)$. 这意味同伦群有如下关系：
\pi_n(\mathcal{R}_{p+1})=\pi_{n+1}(\mathcal{R}_p)因此
\pi_D(\mathcal{R}_{s-d})=\pi_0(\mathcal{R}_{s-d+D})
用拓扑维$\delta=d-D$对$s$类拓扑缺陷进行分类。这表明分类只依赖于组合$s-d+D$
作为一个题外话，让我们简要地提一下，周期表也可以从无能隙表面哈密顿的稳定性分析中导出，而不是使用质量项的同伦群分类。 这个方法的第一步是写出$d-1$维最小矩阵维数的无能隙狄拉克哈密顿。
H_{surf}(k)=\sum_{j=1}^{d-1}k_j\gamma_j,\quad\{\gamma_i,\gamma_j\}=2\delta_{ij}\mathbf{1}
这表述了d维有能隙体系同对应于给定对称类的表面态。注意$H_{surf}$的形式受到对称条件\eqref{k,t}的约束。第二步，我们问是否存在对称允许的质量项$m\gamma_0$，它与$H_{surf}$反交换。如果存在，表面模可以打开能隙，这表明体系统是拓扑平凡的，在周期表里用$0$标记。换句话说，如果不存在任何对称性允许的质量项$m\gamma_0$，那么表面态就是拓扑稳定的(例如对称性保护)，这表明体态是拓扑非平凡的。为了区分$\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}_2$分类，我们需要考虑表面哈密顿的多重复制，例如$H_{surf}\otimes \mathbf{1}_N$. 如果表面狄拉克哈密顿对于任意数量的复制都是稳定的(例如，如果不存在对称性允许的质量项，对应体态是由整数拓扑不变量$\mathbb{Z}$分类的。如果表面态仅仅对于奇数复制是稳定的，则体态是由$\mathbb{Z}_2$不变量分类的。
通过这种方式可以推导出全部的分类表。例如，我们考虑三维的Class A,AII,AIII. 二维表面狄拉克哈密顿最小矩阵维数可以写成
H_{surf}(k)=k_1\sigma_1+k_2\sigma_2对于Class A，质量项$m\sigma_z$打开了表面模的能隙，得到了拓扑分类$0$的结果。对于$Class AII$和$Class AIII$，$m\sigma_z$是可能的质量项，但是分别破坏了TRS和CHS，其中$T=\sigma_y\mathcal{K},S=\sigma_z$. 为了进一步区分$\mathbb{Z}_2$和$\mathbb{Z}$，我们考虑$H_{surf}\otimes \mathbf{1}_2$，对称算符由$T=\sigma_y\otimes\mathbf{1}_2\mathcal{K}$和$S=\sigma_z\otimes\mathbf{1}_2$给出。对于这种倍增的哈密顿，仅仅存在一个质量项，$m\sigma_z\otimes\sigma_y$，它保护了TRS破坏了CHS. 这样Class AII和AIIII分别由$\mathbb{Z}_2$和$\mathbb{Z}$拓扑不变量分类。
使用类似的方法，也可以根据晶体对称性对拓扑绝缘体和拓扑超导体进行分类。此外，该分类方案也适用于拓扑半金属和节点超导。