我们根据体拓扑不变量讨论了能隙拓扑绝缘体和拓扑超导的十重分类和拓扑缺陷。将在下表中对讨论的拓扑不变量做简短总结。我们将讨论拓扑不变量和具有拓扑不变量特征的系统的各种具体例子，但我们主要局限于从能隙拓扑绝缘体和拓扑超导中选取的例子。拓扑缺陷的例子以后再讨论。
| Nonchiral classes(s even) | Chiral classes(s odd) | |
| $Z$ | 陈数 | 缠绕数 |
| $Z_2^{(1)}$ | CS | Fu-Kane |
| $Z_2^{(2)}$ | Fu-Kane | CS |
根据Bloch-BdG哈密顿量的本征函数给出了本节引入的拓扑不变量。我们把能级$\varepsilon^a$的本征函数记作$|u^a(k,r)\rangle$，$H(k,r)|u^a(k,r)\rangle=\varepsilon^a(k,r)|u^a(k,r)\rangle$. 通过假设，在$\varepsilon^a(k,r)$给出的能带结构中，在费米能量处存在一个能隙。我们假设在费米能量上下有$N_{+/-}$个带。总能带数为$N_++N_-$. 我们把满带Bloch函数记作$\{|u_-^\alpha(k,r)\rangle\}$或者简单记作$\{|u^\alpha(k,r)\}$，其中$\alpha=1,\cdots,N_-$.
布洛赫函数定义在$BZ^d\times\mathcal{M}^d$流形上，$(d+D)$维的总相空间由$(k,r)$参数化。这里$D$维流形$\mathcal{M}^D$围绕着这个拓扑缺陷。(它从缺陷的时空间的补形变收缩而来)例如，去掉实三维空间中的一个点缺陷，留下一个穿孔空间，该空间与$2$维球面$S^2$具有相同的同伦型。无现长线缺陷的补在三维空间中可以沿着缺陷方向压扁成一个有穿孔的盘子，然后变形回缩到圆$S^1$. 包围一个更加复杂的拓扑缺陷的$D$维流形$\mM^D$可能不会是一个球。例如，在三维空间中围绕连杆的是一个$T^2$。时间循环的流形$D$必须包含一个与周期时间方向相对应的不可收缩的1循环。本系列大部分中，我们感兴趣的是不涉及低维循环缺陷的最高维强拓扑。为此目的，通过收缩所有低维度的循环，我们将相空间紧化成一个球
(k,r)\in BZ^d\times\mathcal{M}^D\xrightarrow{\text{紧化}}S^{d+D}
从物理上讲，这意味着缺陷能带理论假定在这些低维循环周围有平凡的缠绕。
$s$为偶数的奇系：Chern数
对于在非手征类($s$为偶数)能隙拓扑相和拓扑缺陷，整数$Z$分类的拓扑由Chern数表征
Ch_n=\frac{1}{n!}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n\int_{BZ^d\times\mathcal{M}^D}Tr(\mathcal{F}^n)
其中$n=(d+D)/2$. Berry曲率为
\mathcal{F}=dA+A\wedge A这里用了微分形式：
A^{\alpha\beta}=A_I^{\alpha\beta}(s)\mathrm{d}s^I,\quad A_I^{\alpha\beta}=\langle u^\alpha(s)|\partial_I u^\beta(s)\rangle
\begin{split}
\mathcal{F}^{\alpha\beta}&=dA^{\alpha\beta}+A^{\alpha\gamma}\wedge A^{\gamma\beta}\\
&=\partial_J A_I^{\alpha\beta}(s)\mathrm{d}s^J\wedge\mathrm{d}s^I+A_I^{\alpha\gamma}A_J^{\gamma\beta}\mathrm{d}s^I\wedge\mathrm{d}s^J\\
&=\frac{1}{2}(\partial_IA_J^{\alpha\beta}(s)+[A_I^{\alpha\gamma},A_J^{\gamma\beta}])\mathrm{d}s^I\wedge \mathrm{d}s^J
\end{split}其中$I,J=1,2,\cdots,d+D.$以及$s=(k,r)$. $A^{\alpha\beta}(k,r)$表示非阿贝尔联络
\begin{split}
A^{\alpha\beta}(k,r)&=\langle u^{\alpha}(k,r)|\mathrm{d}u^\beta(k,r)\rangle\\
&=\langle u^\alpha(k,r)|\nabla_k u^\beta(k,r)\rangle\cdot \mathrm{d}k+\langle u^\alpha(k,r)|\nabla_r u^\beta(k,r)\rangle\cdot \mathrm{d}r
\end{split}当$d+D$是偶数的时候，Chern数良定义。此外，在出现$TRS$或者$PHS$的系统里当$\delta=d-D=2\mod{4}$或者$0\mod{4}$时，Chern数为零。而且当$s-\delta=4\mod{8}$时，Chern数必定为偶数。
Chern数可以检测在底空间$BZ^d\times\mathcal{M}^D$上定义光滑Bloch波函数的障碍。与每一个$(k,r)$联系，我们有一个波函数$|u^a(k,r)\rangle$集合，一个可以被认为是$U(N_++N_-)$的一个元素的集合。然而，有一个规范冗余：对于给定的$(k,r)$在空带和占据带波函数中的$U(N_{\pm})$转动产生了相同的量子基态(费米狄拉克海)。换句话说，量子基态在给定的$(k,r)$中是陪集空间$U(N_++N_-)/U(N_-)\times U(N_+)$的一个元素，是复Grassmannian流形。费米狄拉克海可以很方便的用谱投影算符来表述
P(k,r)=\sum_{\alpha=1}^{N_-}|u^\alpha(k,r)\rangle\langle u^\alpha(k,r)|
或者写成指标显式$P^{ij}(k,r)=\sum_{\alpha=1}^{N_-}u_i^\alpha(k,r)[u_j^\alpha(k,r)]^*$，它指定了一个由占据带的布洛赫波函数的集合定义的总希尔伯特空间的子空间。投影算符是规范不变的并且是复Grassmannian流形的一个元素$P(k,r)\in U(N_++N_-)/U(N_-)\times U(N_+)$. 对于下面的内容，引入$Q$矩阵是很方便的
Q(k,r)=1-2P(k,r)
$Q$矩阵是厄米的并且和$H(k,r)$有相同的本征函数集，但是他的本征值是$\pm 1$，因为$Q^2=1$.
当我们在底空间$BZ^d\times \mathcal{M}^D$移动的时候，波函数集合发生绝热变化。这样的波函数就定义了一个可以“扭曲”的纤维丛:在底空间各处都要找到定义良好的光滑波函数可能是不可能的。一个查看纤维丛什么时候扭曲的快速方法是注意到布洛赫函数的集合定义了一个从底空间到$U(N_++N_-)/U(N_+)\times U(N_-)$的映射。这类拓扑上不同的映射可以用同伦群来分类
\pi_{d+D}[U(N_++N_-)/U(N_+)\times U(N_-)]对于足够大的$N_\pm$以及$d+D$是偶数的时候，$\pi_{d+D}[U(N_++N_-)/U(N_+)\times U(N_-)]=Z$. 因此，拓扑上不同的映射具有整数拓扑不变量的特征，即
-\frac{1}{2^{2n+1}}\frac{1}{n!}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^n\int_{BZ^d\times \mathcal{M}^D}Tr[Q(\mathrm{d}Q)^{2n}]
这不是什么，这正是Chern数。