总结几个李群流形的结论
$n$维李群$G$是$n$维实解析流形，群结构满足
\begin{split}
G\times G\rightarrow G\\
x,y\rightarrow xy
\end{split}$x,y$是$G$的群元素。满足群的四条规则，结合律，恒元，逆元，封闭性。
对于一维李群，有且仅有两种：
- 实数加法群，非紧、连通、单连通群
- $U(1)$群，复平面上单位元用复数乘法形成群，是紧致连通非单连通群
U(1)=\{z\in C||z|=1\}\sim S^1\sim \mathbb{R}/Z\sim SO(2)任意连通Abel群必定是上述两种群的笛卡尔乘积
一般线性变换群$GL(n,R)$
GL(n,R)=\{A\in M(n,\mathbb{R})|\det A\neq 0\}这里$M(n,R)$表示$n\times n$实数矩阵。它是$n^2$维非紧致非连通非单连通流形。含有恒元$E$的连通分量构成子群$GL^+(n,R)$
GL^+(n,R)=\{A\in GL(n,\mathbb{R})|\det A>0\}实正交群$O(n,R)$
O(n, \mathbb{R})=\left\{A \in G L(n, \mathbb{R}) \mid A A^{T}=1\right\}实数正交群$O(n,R)$是$GL(n,R)$的子群，条件为$A^TA=1$，矩阵元满足
\sum_{k=1}^{n} A_{i k} A_{k j}=\delta_{i j}$A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，满足$a_i^T a_j=0,i\neq j$的约束个数为$C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$，$a_i^Ta_i=0$的约束条件个数为$n$. 所以总的约束个数为$\frac{n(n+1)}{2}$. $O(n,\mathbb{R})$群为$\frac{n(n-1)}{2}$维流形。上式中取$i=j$求和得到
\operatorname{tr}\left(A A^{T}\right)=\sum_{i, k=1}^{n}\left(A_{i k}\right)^{2}=n这意味着$O(n,\mathbb{R})$为$M(n,\mathbb{R})\sim R^{n^2}$的有界闭子集，$O(n,\mathbb{R})$为紧致流形，是$GL(n,\mathbb{R})$群的最大紧致流形，非连通，有恒元$e$的连通一支为$SO(n,\mathbb{R})$
\mathrm{SO}(n, \mathbb{R})=\{A \in O(n, \mathbb{R}) \mid \operatorname{det} A=1\}是$GL^+(n,\mathbb{R})$的最大紧致子群。
一般线性变换群$GL(n,\mathbb{C})$
$n$维复空间的一般线性变换群为
G L(n, \mathbb{C})=\{A \in M(n, \mathbb{C}) \mid \operatorname{det} A \neq 0\}最大的紧致单连通李子群为
\mathrm{SU}(n)=\left\{g \in M(n, \mathbb{C}) \mid g^{+} g=1, \operatorname{detg}=1\right\}$SU(n)$群是$n^2-1$维实李群，紧致、单连通。
一个$n$维复矩阵，包含$2n^2$个实参数。幺正矩阵的列矩阵相互正交归一。归一化条件给出$n$个实条件。政教条件给出$\frac{n(n-1)}{2}$个复条件，也就是$n(n-1)$个实条件。行列式为$1$又给出一个实条件。因此描述$SU(n)$群的独立实参数为$2n^2-n-n(n-1)-1=n^2-1$
比如SU(2)群
\begin{array}{l}
g=\left(\begin{array}{cc}
z_{1} & z_{2} \\
-\bar{z}_{2} & \bar{z}_{1}
\end{array}\right) \in \mathrm{SU}(2) \\
\operatorname{det} g=\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}=1
\end{array}令$z_{1}=t+i z, \quad z_{2}=x+i y$，上述约束条件为
t^{2}+z^{2}+x^{2}+y^{2}=1所以$SU(2)$的实参数有三个，同胚于$S^3$，紧致单连通流形