迷向子群
李群$G$可以作用在微分流形$\mM$上。作用的过程实际上是李群$G$的线性实现，也就是群表示
考虑李群$G$对流形$\mM$的左作用‘
\varphi:G\times\mathcal M\rightarrow \mathcal M,\quad g,x\rightarrow\varphi(g,x)
要求
\begin{split}
&\varphi(g_1,\varphi(g_2,x))=\varphi(g_1g_2,x)\\
&\varphi(e,x)=x
\end{split}$e$是恒等元，$g_1,g_2\in G$
对于任意群元素$g\in G$，$\mM$上有微分同胚
\begin{split}
\varphi_g:\mathcal M\rightarrow\mathcal M\\
x\rightarrow\varphi(g,x)
\end{split}映射集合$\{\varphi_g,g\in G\}$满足
\begin{split}
\varphi_{g_1}\cdot\varphi_{g_2}=\varphi_{g_1g_2}\\
\varphi_e=id_{\mathcal M}
\end{split}从群论角度来看$\varphi_g$就是$g$在流形$\mM$上的线性实现。为了简单我们把$\varphi_gx$记作$gx$
李群$G$作用在流形$\mM$上有两个特殊情况
- 作用有效：$g\in G$不是恒元，$\mM$上必定存在$x$，使得$gx\neq x$
- 作用自由：$g\in G$不是恒元，$\mM$上任意$x$，都有$gx\neq x$
作用自由必定有效，但有效不一定自由。作用自由不允许有固定点
例如$SU(2)$作用在$S^2$上式有效的，但不是自由的，因为$z$轴顶点为不动点。但是$SU(2)$作用在$S^1$上式自由的。
当$G$作用于$\mM$上时，保持$\mM$上某点$x_0$不动的群元素形成子群$G_g\subset G$:
G_{x_{n}}=\left\{g \in G \mid g x_{0}=x_{0} \in \mathcal M\right\}
称为$x_0$点的迷向子群。
当所有群元素都对$\mM$作用，$x_0$能到达的点的集合称为$G$过点$x_0$的轨道$O_{x_0}$:
O_{x_{0}}=\left\{x \in \mathcal M \mid x=g x_{0}, \forall g \in G\right\}
轨道$O_{x_0}$是$\mM$的子流形。
- 每一个轨道是$G$传递空间，同一个轨道上每个点的迷向子群同构:$G_{gx_0}=gG_{x_0}g^{-1}$
- 两轨道相交，一定完全重合，不同轨道不相交。如果把每个轨道看成一个元素点，所有轨道集合形成的商空间叫做轨道空间$\mM/G$
几个简单例子
\mathbb{R}/\mathbb{Z}=S^1,\quad t\rightarrow e^{i2\pi t}
S^n/Z_2=RP^n
$Z_2$是作用于$S^n$的宇称变换，$Z_2$作用轨道是一对对顶点，轨道空间是$RP^n$
齐性流形
变换群$G$对$\mathcal{M}$的作用，如果对$\mathcal{M}$上任意两点$x,y\in\mathcal{M}$，必存在某群元素$g\in G$，使得
y=gx
则称$G$对$\mathcal{M}$作用传递，且称流形$\mathcal{M}$是$G$的齐性流形。
- 齐性流形没有不变子流形
- 群$G$对$\mathcal{M}$上任意点作用的轨道就是$\mathcal{M}$本身。
- 齐性流形上所有点的迷向子群相互同构
群$G$相对子群$G_x$的陪集与与流形$\mathcal{M}$之间存在$1-1$映射
\varphi_x:G/G_x\rightarrow \mathcal{M}当$\mathcal{M}$是连通的局域紧致流形，$G$是局域紧李群，双射$\varphi_x$为微分同胚，即
G/G_x\simeq \mathcal{M}
所有把$x$移动到$y$的群元素构成群$G$关于子群$G_x$的陪集，流形上每一点$y$都对应一个陪集，所以$G/G_x\sim \mathcal{M}$