考虑一个一维晶格上双粒子hopping模型
\hat{H}=t\sum_{i}(a_i^\dagger b_i+h.c.)-t'\sum_{t}(b_i^\dagger a_{i+1}+h.c.)
其中$a_i/b_i$是费米子在子格$A/B$上第$i$个原胞的湮灭算符。我们只考虑最近邻的hopping振幅为实数的情况，我们分别记作$t,t’$，其中我们假设$t,t’>0$. 这是描述乙炔的SSH模型。在动量空间中，哈密顿写成$\hat{H}=\sum_{k}\Psi^\dagger(k) H(k)\Psi(k)$, 其中$\Psi(k)=(a_k,b_k)^T,k\in[-\pi,\pi]$
H(k)=\mathbf{R}(k)\cdot\bm{\sigma},\quad \mathbf{R}(k)=\begin{pmatrix}
t-t'\cos k\\
-t'\sin k\\
0
\end{pmatrix}能谱为$\varepsilon(k)=\pm\sqrt{t^2-2tt’\cos k+t’^2}$. 哈密顿有手征对称性，在动量空间里满足变换条件$\sigma_3 H\sigma_3=-H(k)$. 在这个对称性里，两个有能隙相$t>t’$和$t<t’$是拓扑可分辨的，并且被$t=t’$的量子相变点隔开。在$t>t’$相里的基态和原子绝缘体是绝热连通的。换句话说，一旦手征对称性引入，在$t’>t$相的基态与拓扑平凡原子绝缘体是拓扑区分的。这两个相由缠绕数来表征
\nu[q]=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ}\mathrm{d}k q^\dagger\partial_k q=\begin{cases}
1,\quad t'>t\\0,\quad t'< t
\end{cases}其中$q(k)=(t-t’e^{-ik})/|\varepsilon(k)|$. 简单计算一下
\nu[q]=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ}q^\dagger\mathrm{d}q=\frac{i}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm{d}k\partial_k\ln q=\left.\frac{i}{2\pi}\ln q\right|_{-\pi}^\pi
\ln q=\ln |q|+\arg q=\arg q,\quad |q|=1
相应的CS不变量也有两个可区分的量子化值$1(0)$，分别对应$t’>t$和$t>t’$. 假设$t/t’$在相变点附近，SSH模型的低能物理是连续狄拉克哈密顿
H(k)=-t'k\sigma_2+(t-t')\sigma_1
这由$k$空间中的哈密顿在$k=0$处展开得到。注意到$t-t’$扮演着质量$m$的角色。
为了讨论domain wall，我们可以令$t\rightarrow t+m,t’\rightarrow t$. 更进一步说，我们让$m$是独立的，它定义了Class AIII和BDI哈密顿的一个缺陷
H(k,r)=[t(1-\cos k)+m(r)]\sigma_1-t\sin k\sigma_2
我们考虑一个受到空间调制的质量隙$m(r)$，它描述了一个domain wall的夹层，例如$m(r)=sgn(r)m_0,(|r|>R_0),m_0\neq 0$. 缠绕数为
\begin{split}
\nu_1&=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ\times S^0}q^\dagger\mathrm{d}q\\
\end{split}简单计算一下：
H(k,r)=\mathbf{d}\cdot \sigma=\begin{pmatrix}
&d_1-id_2\\
d_1+id_2&
\end{pmatrix}能量本征方程为
\begin{pmatrix}
&d_1-id_2\\
d_1+id_2&
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}=\pm d\begin{pmatrix}
\alpha\\
\beta
\end{pmatrix}|u^\pm\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
\frac{d_1-id_2}{d}\\
\pm 1
\end{pmatrix}Q=|u^+\rangle\langle u^+|-|u^-\rangle\langle u^-|=\begin{pmatrix}
&\frac{d_1-id_2}{d}\\
\frac{d_1+id_2}{d}&
\end{pmatrix},\quad q=\frac{d_1-id_2}{d}\begin{split}
\nu_1&=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ\times S^0}q^\dagger dq\\
&=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ}\mathrm{d}k[q^\dagger(k,R_0)\partial_k q(k,R_0)-q^\dagger(k,-R_0)\partial_k q(k,-R_0)]\\
&=-\frac{1}{2\pi}[\arg q(k,R_0)|_0^{2\pi}-\arg q(k,-R_0)|_0^{2\pi}]
\end{split}d_1=t+m(r)-t\cos k,\quad d_2=-t\sin k,\quad d_1-id_2=t+m(r)-te^{-ik}
其中$S^0=\{R_0,-R_0\}$是在原点处夹着缺陷点的两个点。该缺陷还以CS积分为特征，在这个例子里是电极化率
CS_1=\frac{i}{2\pi}\int_{BZ\times S^0}\mathcal{A}=\frac{i}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}k[A(k,R_0)-A(k,-R_0)]
A=\langle u^-|\partial_k|u^-\rangle=\frac{i}{2}\partial_k\ln q
所以
CS_1=-\frac{1}{2\pi}\frac{1}{2}[\arg q(k,R_0)|_0^{2\pi}-\arg q(k,-R_0)|_0^{2\pi}]=\frac{1}{2}\mod \mathbb{Z}
上述两个不变量告诉我们domain wall两侧的不同。即使对于连续的Jackiw-Rebbi模拟，它们也有很好的定义
H(k,r)=-tk\sigma_2+m(r)\sigma_1
其中，在任何一边的体拓扑不变量在没有正规化的时候不会有整数值。然而上述两个不变量方程中所示的差异是正规无关的，并检测域壁处的局域零能量模式。